Theorem fztp 7686

Description: A finite interval of integers with three elements.

Assertion

Ref	Expression
fztp	|- (M e. ZZ -> (M...(M + 2)) = {M, (M + 1), (M + 2)})

Proof of Theorem fztp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 7375	. . 3 |- (M e. ZZ -> (M + 1) e. ZZ)
2		zre 7348	. . . 4 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
3		id 73	. . . . 5 |- (M e. RR -> M e. RR)
4		peano2re 6599	. . . . 5 |- (M e. RR -> (M + 1) e. RR)
5		peano2re 6599	. . . . . 6 |- ((M + 1) e. RR -> ((M + 1) + 1) e. RR)
6	4, 5	syl 12	. . . . 5 |- (M e. RR -> ((M + 1) + 1) e. RR)
7		lep1 6990	. . . . 5 |- (M e. RR -> M <_ (M + 1))
8		lep1 6990	. . . . . 6 |- ((M + 1) e. RR -> (M + 1) <_ ((M + 1) + 1))
9	4, 8	syl 12	. . . . 5 |- (M e. RR -> (M + 1) <_ ((M + 1) + 1))
10	3, 4, 6, 7, 9	letrd 6696	. . . 4 |- (M e. RR -> M <_ ((M + 1) + 1))
11	2, 10	syl 12	. . 3 |- (M e. ZZ -> M <_ ((M + 1) + 1))
12		fzsuc 7678	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ (M + 1) e. ZZ /\ M <_ ((M + 1) + 1)) -> (M...((M + 1) + 1)) = ((M...(M + 1)) u. {((M + 1) + 1)}))
13	1, 11, 12	mpd3an23 1193	. 2 |- (M e. ZZ -> (M...((M + 1) + 1)) = ((M...(M + 1)) u. {((M + 1) + 1)}))
14		zcn 7349	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
15		ax1cn 6422	. . . . . 6 |- 1 e. CC
16		axaddass 6430	. . . . . 6 |- ((M e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((M + 1) + 1) = (M + (1 + 1)))
17	15, 15, 16	mp3an23 1183	. . . . 5 |- (M e. CC -> ((M + 1) + 1) = (M + (1 + 1)))
18	14, 17	syl 12	. . . 4 |- (M e. ZZ -> ((M + 1) + 1) = (M + (1 + 1)))
19		df-2 7154	. . . . 5 |- 2 = (1 + 1)
20	19	opreq2i 4893	. . . 4 |- (M + 2) = (M + (1 + 1))
21	18, 20	syl6eqr 1946	. . 3 |- (M e. ZZ -> ((M + 1) + 1) = (M + 2))
22	21	opreq2d 4898	. 2 |- (M e. ZZ -> (M...((M + 1) + 1)) = (M...(M + 2)))
23		fzpr 7685	. . . 4 |- (M e. ZZ -> (M...(M + 1)) = {M, (M + 1)})
24	21	sneqd 3056	. . . 4 |- (M e. ZZ -> {((M + 1) + 1)} = {(M + 2)})
25	23, 24	uneq12d 2756	. . 3 |- (M e. ZZ -> ((M...(M + 1)) u. {((M + 1) + 1)}) = ({M, (M + 1)} u. {(M + 2)}))
26		df-tp 3052	. . 3 |- {M, (M + 1), (M + 2)} = ({M, (M + 1)} u. {(M + 2)})
27	25, 26	syl6eqr 1946	. 2 |- (M e. ZZ -> ((M...(M + 1)) u. {((M + 1) + 1)}) = {M, (M + 1), (M + 2)})
28	13, 22, 27	3eqtr3d 1934	1 |- (M e. ZZ -> (M...(M + 2)) = {M, (M + 1), (M + 2)})

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591  {csn 3044  {cpr 3045  {ctp 3051   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451  2c2 7145  ...cfz 7637

This theorem is referenced by:  fztpval 7688  stb3xpl 16743

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638

Copyright terms: Public domain