MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fztp Structured version   Unicode version

Theorem fztp 11740
Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fztp  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
2 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  + 
2 ) } )

Proof of Theorem fztp
StepHypRef Expression
1 uzid 11099 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 peano2uz 11138 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 fzsuc 11731 . . 3  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( ( M  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } ) )
41, 2, 33syl 20 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( M  +  1
) )  u.  {
( ( M  + 
1 )  +  1 ) } ) )
5 zcn 10870 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
6 ax-1cn 9548 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7 addass 9577 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
86, 6, 7mp3an23 1315 . . . . 5  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
95, 8syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
10 df-2 10595 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1110oveq2i 6288 . . . 4  |-  ( M  +  2 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) )
129, 11syl6eqr 2500 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  + 
2 ) )
1312oveq2d 6293 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... ( M  +  2 ) ) )
14 fzpr 11739 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
1 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) } )
1512sneqd 4022 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) }  =  { ( M  +  2 ) } )
1614, 15uneq12d 3641 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } )  =  ( { M ,  ( M  +  1 ) }  u.  { ( M  +  2 ) } ) )
17 df-tp 4015 . . 3  |-  { M ,  ( M  + 
1 ) ,  ( M  +  2 ) }  =  ( { M ,  ( M  +  1 ) }  u.  { ( M  +  2 ) } )
1816, 17syl6eqr 2500 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  +  2 ) } )
194, 13, 183eqtr3d 2490 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
2 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  + 
2 ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802    u. cun 3456   {csn 4010   {cpr 4012   {ctp 4014   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   1c1 9491    + caddc 9493   2c2 10586   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   ...cfz 11676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677
This theorem is referenced by:  fztpval  11745  fz0tp  11780  fzo0to3tp  11874  1cubr  23038  usgraexvlem  24260  rabren3dioph  30717
  Copyright terms: Public domain W3C validator