MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzssp1 Structured version   Unicode version

Theorem fzssp1 11736
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzssp1  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )

Proof of Theorem fzssp1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzel2 11696 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
2 uzid 11106 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
3 peano2uz 11144 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4 fzss2 11733 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
51, 2, 3, 44syl 21 . . 3  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
6 id 22 . . 3  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
75, 6sseldd 3510 . 2  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
87ssriv 3513 1  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   1c1 9503    + caddc 9505   ZZcz 10874   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683
This theorem is referenced by:  fzelp1  11742  fseq1p1m1  11762  fzm1  11768  monoord2  12116  seqf1olem1  12124  seqf1olem2  12125  seqz  12133  binomlem  13616  binom1dif  13620  1stcfb  19791  axlowdimlem13  24048  axlowdimlem16  24051  gsumnunsn  28286  cvmliftlem7  28529  bpolycl  29709  bpolysum  29710  bpolydiflem  29711  bpoly4  29716  volsupnfl  29954  sdclem2  30130  fdc  30133  mettrifi  30145  mapfzcons1cl  30546  2rexfrabdioph  30625  3rexfrabdioph  30626  4rexfrabdioph  30627  6rexfrabdioph  30628  7rexfrabdioph  30629  rabdiophlem2  30631  jm2.27dlem5  30851  stoweidlem11  31602  stoweidlem34  31625
  Copyright terms: Public domain W3C validator