MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzssp1 Structured version   Unicode version

Theorem fzssp1 11490
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzssp1  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )

Proof of Theorem fzssp1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzel2 11440 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
2 uzid 10865 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
3 peano2uz 10898 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4 fzss2 11487 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
51, 2, 3, 44syl 21 . . 3  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
6 id 22 . . 3  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
75, 6sseldd 3347 . 2  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
87ssriv 3350 1  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1757    C_ wss 3318   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   1c1 9273    + caddc 9275   ZZcz 10636   ZZ>=cuz 10851   ...cfz 11426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-nn 10313  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-fz 11427
This theorem is referenced by:  fzelp1  11494  fseq1p1m1  11520  fzm1  11526  monoord2  11823  seqf1olem1  11831  seqf1olem2  11832  seqz  11840  binomlem  13277  binom1dif  13281  1stcfb  18893  axlowdimlem13  23025  axlowdimlem16  23028  gsumnunsn  26787  cvmliftlem7  27030  bpolycl  28044  bpolysum  28045  bpolydiflem  28046  bpoly4  28051  volsupnfl  28282  sdclem2  28484  fdc  28487  mettrifi  28499  mapfzcons1cl  28901  2rexfrabdioph  28981  3rexfrabdioph  28982  4rexfrabdioph  28983  6rexfrabdioph  28984  7rexfrabdioph  28985  rabdiophlem2  28987  jm2.27dlem5  29209  stoweidlem11  29654  stoweidlem34  29677
  Copyright terms: Public domain W3C validator