MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzssp1 Structured version   Unicode version

Theorem fzssp1 11841
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzssp1  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )

Proof of Theorem fzssp1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzel2 11798 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
2 uzid 11173 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
3 peano2uz 11212 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4 fzss2 11838 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
6 id 23 . . 3  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
75, 6sseldd 3465 . 2  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
87ssriv 3468 1  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1868    C_ wss 3436   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   1c1 9540    + caddc 9542   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785
This theorem is referenced by:  fzelp1  11848  fseq1p1m1  11868  monoord2  12243  seqf1olem1  12251  seqf1olem2  12252  seqz  12260  binomlem  13872  binom1dif  13876  bpolycl  14090  bpolysum  14091  bpolydiflem  14092  bpoly4  14097  1stcfb  20444  axlowdimlem13  24968  axlowdimlem16  24971  gsumnunsn  29418  cvmliftlem7  30007  poimirlem3  31854  poimirlem4  31855  volsupnfl  31896  sdclem2  31982  fdc  31985  mettrifi  31997  mapfzcons1cl  35476  2rexfrabdioph  35555  3rexfrabdioph  35556  4rexfrabdioph  35557  6rexfrabdioph  35558  7rexfrabdioph  35559  rabdiophlem2  35561  jm2.27dlem5  35785  stoweidlem11  37688  stoweidlem34  37712  carageniuncllem1  38118
  Copyright terms: Public domain W3C validator