Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzssfzo Structured version   Unicode version

Theorem fzssfzo 28982
Description: Condition for an integer interval to be a subset of an half-open integer interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzssfzo  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M..^ N ) )

Proof of Theorem fzssfzo
StepHypRef Expression
1 elfzoel2 11856 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
2 fzoval 11858 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
43eleq2d 2472 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <-> 
K  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
54ibi 241 . . 3  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
6 elfzuz3 11737 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
7 fzss2 11776 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
85, 6, 73syl 20 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
98, 3sseqtr4d 3478 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M..^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   1c1 9522    - cmin 9840   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   ...cfz 11724  ..^cfzo 11852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-neg 9843  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853
This theorem is referenced by:  signstcl  29014  signstf  29015  signstfvp  29020
  Copyright terms: Public domain W3C validator