MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss1 Structured version   Unicode version

Theorem fzss1 11618
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11570 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( K ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 id 22 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 uztrn 10992 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
41, 2, 3syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 elfzuz3 11571 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( K ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
65adantl 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
7 elfzuzb 11568 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
84, 6, 7sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
98ex 434 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( K ... N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) ) )
109ssrdv 3473 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    C_ wss 3439   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ZZ>=cuz 10976   ...cfz 11558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-neg 9713  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559
This theorem is referenced by:  fzp1ss  11627  fzoss1  11697  fzossnn0  11701  sermono  11959  seqsplit  11960  seqf1olem2  11967  seqz  11975  bcpasc  12218  seqcoll2  12339  swrd0fv0  12458  swrd0fvlsw  12461  swrdswrd  12476  swrdccatin2  12500  swrdccatin12lem2c  12501  swrdccatin12  12504  mertenslem1  13466  reumodprminv  13994  structfn  14309  strleun  14391  efgsres  16360  efgredlemd  16366  efgredlem  16369  ply1termlem  21814  dvply1  21893  dvtaylp  21978  taylthlem2  21982  basellem5  22565  ppisval2  22585  ppiltx  22658  chtlepsi  22688  chtublem  22693  chpub  22702  chtppilimlem1  22865  pntlemq  22993  pntlemf  22997  axlowdimlem16  23382  axlowdimlem17  23383  axlowdim  23386  fzssnn  26246  esumpmono  26696  ballotlem2  27038  ballotlemfc0  27042  ballotlemfcc  27043  ballotlemfrci  27077  ballotlemfrceq  27078  fdc  28812  jm2.23  29516  stoweidlem11  29977  ige2m1fz  30377  extwwlkfablem2  30842  chfacfpmmulgsum2  31374  cpmadugsumlemF  31385
  Copyright terms: Public domain W3C validator