MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss1 Structured version   Unicode version

Theorem fzss1 11734
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11696 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( K ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 id 22 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 uztrn 11110 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
41, 2, 3syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 elfzuz3 11697 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( K ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
65adantl 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
7 elfzuzb 11694 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
84, 6, 7sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
98ex 434 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( K ... N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) ) )
109ssrdv 3515 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-neg 9820  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685
This theorem is referenced by:  fzp1ss  11743  ige2m1fz  11779  fzoss1  11832  fzossnn0  11836  sermono  12119  seqsplit  12120  seqf1olem2  12127  seqz  12135  bcpasc  12379  seqcoll2  12494  swrd0fv0  12647  swrd0fvlsw  12650  swrdswrd  12665  swrdccatin2  12692  swrdccatin12lem2c  12693  swrdccatin12  12696  mertenslem1  13673  reumodprminv  14205  structfn  14520  strleun  14602  efgsres  16629  efgredlemd  16635  efgredlem  16638  chfacfpmmulgsum2  19235  cpmadugsumlemF  19246  ply1termlem  22468  dvply1  22547  dvtaylp  22632  taylthlem2  22636  basellem5  23224  ppisval2  23244  ppiltx  23317  chtlepsi  23347  chtublem  23352  chpub  23361  chtppilimlem1  23524  pntlemq  23652  pntlemf  23656  axlowdimlem16  24083  axlowdimlem17  24084  axlowdim  24087  extwwlkfablem2  24902  fzssnn  27418  esumpmono  27910  ballotlem2  28252  ballotlemfc0  28256  ballotlemfcc  28257  ballotlemfrci  28291  ballotlemfrceq  28292  fdc  30165  jm2.23  30866  stoweidlem11  31634
  Copyright terms: Public domain W3C validator