MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss1 Unicode version

Theorem fzss1 11047
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11011 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( K ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 id 20 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 uztrn 10458 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
41, 2, 3syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 elfzuz3 11012 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( K ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
65adantl 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
7 elfzuzb 11009 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
84, 6, 7sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
98ex 424 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( K ... N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) ) )
109ssrdv 3314 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  fzp1ss  11054  fzoss1  11117  sermono  11310  seqsplit  11311  seqf1olem2  11318  seqz  11326  bcpasc  11567  seqcoll2  11668  mertenslem1  12616  structfn  13437  strleun  13514  efgsres  15325  efgredlemd  15331  efgredlem  15334  ply1termlem  20075  dvply1  20154  dvtaylp  20239  taylthlem2  20243  basellem5  20820  ppisval2  20840  ppiltx  20913  chtlepsi  20943  chtublem  20948  chpub  20957  chtppilimlem1  21120  pntlemq  21248  pntlemf  21252  fzssnn  24100  esumpmono  24422  ballotlem2  24699  ballotlemfc0  24703  ballotlemfcc  24704  ballotlemfrci  24738  ballotlemfrceq  24739  binomfallfaclem2  25307  axlowdimlem16  25800  axlowdimlem17  25801  axlowdim  25804  fdc  26339  jm2.23  26957  stoweidlem11  27627  swrdswrd  28011  swrdccatin2  28018  swrdccatin12lem3c  28023  swrdccatin12  28026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
  Copyright terms: Public domain W3C validator