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Theorem fzsplit3 25900
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( K  -  1
) )  u.  ( K ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11439 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
21zred 10734 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
3 elfzelz 11439 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
43zred 10734 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  RR )
5 1re 9372 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  1  e.  RR )
74, 6resubcld 9763 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
8 lelttric 9468 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( K  -  1
)  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( K  -  1 )  \/  ( K  -  1 )  < 
x ) )
92, 7, 8syl2anr 475 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  <_  ( K  -  1 )  \/  ( K  - 
1 )  <  x
) )
10 elfzuz 11435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 1z 10663 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  1  e.  ZZ )
133, 12zsubcld 10739 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
14 elfz5 11431 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
x  <_  ( K  -  1 ) ) )
1510, 13, 14syl2anr 475 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
x  <_  ( K  -  1 ) ) )
16 elfzuz3 11436 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
1716adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
18 elfzuzb 11433 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( K ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  x ) ) )
1918rbaib 891 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  x
)  ->  ( x  e.  ( K ... N
)  <->  x  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
2017, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( K ... N )  <-> 
x  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
21 eluz 10861 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  x ) )
223, 1, 21syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  x ) )
23 zlem1lt 10683 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  x  <->  ( K  -  1 )  <  x ) )
243, 1, 23syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  <_  x  <->  ( K  -  1 )  <  x ) )
2520, 22, 243bitrd 279 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( K ... N )  <-> 
( K  -  1 )  <  x ) )
2615, 25orbi12d 702 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N
) )  <->  ( x  <_  ( K  -  1 )  \/  ( K  -  1 )  < 
x ) ) )
279, 26mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N ) ) )
28 elfzuz 11435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2928adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
30 elfzuz3 11436 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3130adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
32 elfzuz3 11436 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1
) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  x
) )
3332adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  x ) )
34 peano2uz 10895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  x
)  ->  ( ( K  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  x )
)
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  x ) )
364recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  CC )
376recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  1  e.  CC )
3836, 37npcand 9710 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
3938eleq1d 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( K  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  x )  <->  K  e.  ( ZZ>= `  x )
) )
4039adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( K  -  1 )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  x )  <->  K  e.  ( ZZ>= `  x )
) )
4135, 40mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  x ) )
42 uztrn 10864 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
4331, 41, 42syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
44 elfzuzb 11433 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  x ) ) )
4529, 43, 44sylanbrc 657 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
46 elfzuz 11435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( K ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
47 elfzuz 11435 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
48 uztrn 10864 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4946, 47, 48syl2anr 475 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
50 elfzuz3 11436 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( K ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
5150adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
5249, 51, 44sylanbrc 657 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
5345, 52jaodan 776 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... ( K  - 
1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
5427, 53impbida 821 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N
) ) ) )
55 elun 3485 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( M ... ( K  - 
1 ) )  u.  ( K ... N
) )  <->  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N
) ) )
5654, 55syl6bbr 263 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  x  e.  ( ( M ... ( K  -  1
) )  u.  ( K ... N ) ) ) )
5756eqrdv 2431 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( K  -  1
) )  u.  ( K ... N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    u. cun 3314   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9268   1c1 9270    + caddc 9272    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   ...cfz 11423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  26758
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