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Theorem fzsplit3 26029
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( K  -  1
) )  u.  ( K ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11445 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
21zred 10739 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
3 elfzelz 11445 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
43zred 10739 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  RR )
5 1re 9377 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  1  e.  RR )
74, 6resubcld 9768 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
8 lelttric 9473 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( K  -  1
)  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( K  -  1 )  \/  ( K  -  1 )  < 
x ) )
92, 7, 8syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  <_  ( K  -  1 )  \/  ( K  - 
1 )  <  x
) )
10 elfzuz 11441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 1z 10668 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  1  e.  ZZ )
133, 12zsubcld 10744 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
14 elfz5 11437 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
x  <_  ( K  -  1 ) ) )
1510, 13, 14syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
x  <_  ( K  -  1 ) ) )
16 elfzuz3 11442 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
1716adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
18 elfzuzb 11439 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( K ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  x ) ) )
1918rbaib 898 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  x
)  ->  ( x  e.  ( K ... N
)  <->  x  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
2017, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( K ... N )  <-> 
x  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
21 eluz 10866 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  x ) )
223, 1, 21syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  x ) )
23 zlem1lt 10688 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  x  <->  ( K  -  1 )  <  x ) )
243, 1, 23syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  <_  x  <->  ( K  -  1 )  <  x ) )
2520, 22, 243bitrd 279 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( K ... N )  <-> 
( K  -  1 )  <  x ) )
2615, 25orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N
) )  <->  ( x  <_  ( K  -  1 )  \/  ( K  -  1 )  < 
x ) ) )
279, 26mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N ) ) )
28 elfzuz 11441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2928adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
30 elfzuz3 11442 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3130adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
32 elfzuz3 11442 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1
) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  x
) )
3332adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  x ) )
34 peano2uz 10900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  x
)  ->  ( ( K  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  x )
)
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  x ) )
364recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  CC )
376recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  1  e.  CC )
3836, 37npcand 9715 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
3938eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( K  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  x )  <->  K  e.  ( ZZ>= `  x )
) )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( K  -  1 )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  x )  <->  K  e.  ( ZZ>= `  x )
) )
4135, 40mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  x ) )
42 uztrn 10869 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
4331, 41, 42syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
44 elfzuzb 11439 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  x ) ) )
4529, 43, 44sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
46 elfzuz 11441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( K ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
47 elfzuz 11441 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
48 uztrn 10869 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4946, 47, 48syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
50 elfzuz3 11442 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( K ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
5150adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
5249, 51, 44sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
5345, 52jaodan 783 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... ( K  - 
1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
5427, 53impbida 828 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N
) ) ) )
55 elun 3492 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( M ... ( K  - 
1 ) )  u.  ( K ... N
) )  <->  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N
) ) )
5654, 55syl6bbr 263 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  x  e.  ( ( M ... ( K  -  1
) )  u.  ( K ... N ) ) ) )
5756eqrdv 2436 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( K  -  1
) )  u.  ( K ... N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3321   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  26863
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