Theorem fzsplit 15792

Description: Split a finite interval of integers into two parts.

Assertion

Ref	Expression
fzsplit	|- ((N e. A /\ K e. (M...N)) -> (M...N) = ((M...K) u. ((K + 1)...N)))

Proof of Theorem fzsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzn0 15789	. . 3 |- ((N e. A /\ (M...N) =/= (/)) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N))
2		ne0i 2881	. . 3 |- (K e. (M...N) -> (M...N) =/= (/))
3	1, 2	sylan2 500	. 2 |- ((N e. A /\ K e. (M...N)) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N))
4		an6 1177	. . . 4 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) /\ (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ M <_ K) /\ (M <_ N /\ K <_ N)))
5		lelttric 6805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x e. RR /\ K e. RR) -> (x <_ K \/ K < x))
6	5	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((K e. RR /\ x e. RR) -> (x <_ K \/ K < x))
7		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
8		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x e. ZZ -> x e. RR)
9	6, 7, 8	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((K e. ZZ /\ x e. ZZ) -> (x <_ K \/ K < x))
10		zltp1le 7390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((K e. ZZ /\ x e. ZZ) -> (K < x <-> (K + 1) <_ x))
11	10	orbi2d 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((K e. ZZ /\ x e. ZZ) -> ((x <_ K \/ K < x) <-> (x <_ K \/ (K + 1) <_ x)))
12	9, 11	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((K e. ZZ /\ x e. ZZ) -> (x <_ K \/ (K + 1) <_ x))
13	12	3ad2antl2 1039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ x e. ZZ) -> (x <_ K \/ (K + 1) <_ x))
14	13	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> (x <_ K \/ (K + 1) <_ x))
15	14	biantrud 795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> ((M <_ x /\ x <_ N) <-> ((M <_ x /\ x <_ N) /\ (x <_ K \/ (K + 1) <_ x))))
16		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((x e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR) -> ((x <_ K /\ K <_ N) -> x <_ N))
17		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
18	16, 8, 7, 17	syl3an 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((x e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((x <_ K /\ K <_ N) -> x <_ N))
19	18	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((x e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> ((x <_ K /\ K <_ N) -> x <_ N))
20	19	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ x e. ZZ) -> ((x <_ K /\ K <_ N) -> x <_ N))
21	20	ancomsd 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ x e. ZZ) -> ((K <_ N /\ x <_ K) -> x <_ N))
22	21	expdimp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ x e. ZZ) /\ K <_ N) -> (x <_ K -> x <_ N))
23	22	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (x e. ZZ /\ K <_ N)) -> (x <_ K -> x <_ N))
24	23	ancom2s 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K <_ N /\ x e. ZZ)) -> (x <_ K -> x <_ N))
25	24	3adantl1 1032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K <_ N /\ x e. ZZ)) -> (x <_ K -> x <_ N))
26	25	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K <_ N) /\ x e. ZZ) -> (x <_ K -> x <_ N))
27	26	adantlrl 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> (x <_ K -> x <_ N))
28	27	adantld 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> ((M <_ x /\ x <_ K) -> x <_ N))
29	28	pm4.71rd 701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> ((M <_ x /\ x <_ K) <-> (x <_ N /\ (M <_ x /\ x <_ K))))
30		ancom 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M <_ x /\ x <_ N) <-> (x <_ N /\ M <_ x))
31	30	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((M <_ x /\ x <_ N) /\ x <_ K) <-> ((x <_ N /\ M <_ x) /\ x <_ K))
32		anass 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((x <_ N /\ M <_ x) /\ x <_ K) <-> (x <_ N /\ (M <_ x /\ x <_ K)))
33	31, 32	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((M <_ x /\ x <_ N) /\ x <_ K) <-> (x <_ N /\ (M <_ x /\ x <_ K)))
34	29, 33	syl6rbbr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> (((M <_ x /\ x <_ N) /\ x <_ K) <-> (M <_ x /\ x <_ K)))
35		letrp1 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((M e. RR /\ K e. RR /\ M <_ K) -> M <_ (K + 1))
36	35	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((M e. RR /\ K e. RR) /\ M <_ K) -> M <_ (K + 1))
37		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((M e. RR /\ (K + 1) e. RR /\ x e. RR) -> ((M <_ (K + 1) /\ (K + 1) <_ x) -> M <_ x))
38	37	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((M e. RR /\ (K + 1) e. RR /\ x e. RR) -> (M <_ (K + 1) -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x)))
39	38	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((M e. RR /\ (K + 1) e. RR) -> (x e. RR -> (M <_ (K + 1) -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x))))
40	39	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((M e. RR /\ (K + 1) e. RR) -> (M <_ (K + 1) -> (x e. RR -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x))))
41		peano2re 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (K e. RR -> (K + 1) e. RR)
42	40, 41	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((M e. RR /\ K e. RR) -> (M <_ (K + 1) -> (x e. RR -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x))))
43	42	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((M e. RR /\ K e. RR) /\ M <_ (K + 1)) -> (x e. RR -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x)))
44	36, 43	syldan 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((M e. RR /\ K e. RR) /\ M <_ K) -> (x e. RR -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x)))
45		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
46	45, 7	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M e. RR /\ K e. RR))
47	44, 46	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ M <_ K) -> (x e. RR -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x)))
48	47, 8	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ M <_ K) -> (x e. ZZ -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x)))
49	48	impr 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ x e. ZZ)) -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x))
50	49	3adantl3 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ x e. ZZ)) -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x))
51	50	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ M <_ K) /\ x e. ZZ) -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x))
52	51	adantlrr 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> ((K + 1) <_ x -> M <_ x))
53	52	adantrd 427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> (((K + 1) <_ x /\ x <_ N) -> M <_ x))
54	53	pm4.71rd 701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> (((K + 1) <_ x /\ x <_ N) <-> (M <_ x /\ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N))))
55		anass 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((M <_ x /\ x <_ N) /\ (K + 1) <_ x) <-> (M <_ x /\ (x <_ N /\ (K + 1) <_ x)))
56		ancom 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((x <_ N /\ (K + 1) <_ x) <-> ((K + 1) <_ x /\ x <_ N))
57	56	anbi2i 538	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((M <_ x /\ (x <_ N /\ (K + 1) <_ x)) <-> (M <_ x /\ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N)))
58	55, 57	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((M <_ x /\ x <_ N) /\ (K + 1) <_ x) <-> (M <_ x /\ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N)))
59	54, 58	syl6rbbr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> (((M <_ x /\ x <_ N) /\ (K + 1) <_ x) <-> ((K + 1) <_ x /\ x <_ N)))
60	34, 59	orbi12d 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> ((((M <_ x /\ x <_ N) /\ x <_ K) \/ ((M <_ x /\ x <_ N) /\ (K + 1) <_ x)) <-> ((M <_ x /\ x <_ K) \/ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N))))
61		andi 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M <_ x /\ x <_ N) /\ (x <_ K \/ (K + 1) <_ x)) <-> (((M <_ x /\ x <_ N) /\ x <_ K) \/ ((M <_ x /\ x <_ N) /\ (K + 1) <_ x)))
62	60, 61	syl5bb 591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> (((M <_ x /\ x <_ N) /\ (x <_ K \/ (K + 1) <_ x)) <-> ((M <_ x /\ x <_ K) \/ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N))))
63	15, 62	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) /\ x e. ZZ) -> ((M <_ x /\ x <_ N) <-> ((M <_ x /\ x <_ K) \/ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N))))
64	63	pm5.32da 711	. . . . . . . . . . . 12 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) -> ((x e. ZZ /\ (M <_ x /\ x <_ N)) <-> (x e. ZZ /\ ((M <_ x /\ x <_ K) \/ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N)))))
65		3anass 862	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ N) <-> (x e. ZZ /\ (M <_ x /\ x <_ N)))
66		3anass 862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ K) <-> (x e. ZZ /\ (M <_ x /\ x <_ K)))
67		3anass 862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ZZ /\ (K + 1) <_ x /\ x <_ N) <-> (x e. ZZ /\ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N)))
68	66, 67	orbi12i 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ K) \/ (x e. ZZ /\ (K + 1) <_ x /\ x <_ N)) <-> ((x e. ZZ /\ (M <_ x /\ x <_ K)) \/ (x e. ZZ /\ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N))))
69		andi 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ZZ /\ ((M <_ x /\ x <_ K) \/ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N))) <-> ((x e. ZZ /\ (M <_ x /\ x <_ K)) \/ (x e. ZZ /\ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N))))
70	68, 69	bitr4i 193	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ K) \/ (x e. ZZ /\ (K + 1) <_ x /\ x <_ N)) <-> (x e. ZZ /\ ((M <_ x /\ x <_ K) \/ ((K + 1) <_ x /\ x <_ N))))
71	64, 65, 70	3bitr4g 614	. . . . . . . . . . 11 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) -> ((x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ N) <-> ((x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ K) \/ (x e. ZZ /\ (K + 1) <_ x /\ x <_ N))))
72		elfz1 7640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (x e. (M...N) <-> (x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ N)))
73	72	3adant2 895	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (x e. (M...N) <-> (x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ N)))
74	73	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) -> (x e. (M...N) <-> (x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ N)))
75		elfz1 7640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (x e. (M...K) <-> (x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ K)))
76	75	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (x e. (M...K) <-> (x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ K)))
77		elfz1 7640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((K + 1) e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (x e. ((K + 1)...N) <-> (x e. ZZ /\ (K + 1) <_ x /\ x <_ N)))
78		peano2z 7375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (K e. ZZ -> (K + 1) e. ZZ)
79	77, 78	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (x e. ((K + 1)...N) <-> (x e. ZZ /\ (K + 1) <_ x /\ x <_ N)))
80	79	3adant1 894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (x e. ((K + 1)...N) <-> (x e. ZZ /\ (K + 1) <_ x /\ x <_ N)))
81	76, 80	orbi12d 689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((x e. (M...K) \/ x e. ((K + 1)...N)) <-> ((x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ K) \/ (x e. ZZ /\ (K + 1) <_ x /\ x <_ N))))
82		elun 2741	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ((M...K) u. ((K + 1)...N)) <-> (x e. (M...K) \/ x e. ((K + 1)...N)))
83	81, 82	syl5bb 591	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (x e. ((M...K) u. ((K + 1)...N)) <-> ((x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ K) \/ (x e. ZZ /\ (K + 1) <_ x /\ x <_ N))))
84	83	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) -> (x e. ((M...K) u. ((K + 1)...N)) <-> ((x e. ZZ /\ M <_ x /\ x <_ K) \/ (x e. ZZ /\ (K + 1) <_ x /\ x <_ N))))
85	71, 74, 84	3bitr4d 609	. . . . . . . . . 10 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) -> (x e. (M...N) <-> x e. ((M...K) u. ((K + 1)...N))))
86	85	eqrdv 1882	. . . . . . . . 9 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) -> (M...N) = ((M...K) u. ((K + 1)...N)))
87	86	exp32 408	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M <_ K -> (K <_ N -> (M...N) = ((M...K) u. ((K + 1)...N)))))
88	87	3expia 1069	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (N e. ZZ -> (M <_ K -> (K <_ N -> (M...N) = ((M...K) u. ((K + 1)...N))))))
89	88	imp42 396	. . . . . 6 |- ((((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ M <_ K)) /\ K <_ N) -> (M...N) = ((M...K) u. ((K + 1)...N)))
90	89	3impa 1062	. . . . 5 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ M <_ K) /\ K <_ N) -> (M...N) = ((M...K) u. ((K + 1)...N)))
91	90	3adant3l 1094	. . . 4 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ M <_ K) /\ (M <_ N /\ K <_ N)) -> (M...N) = ((M...K) u. ((K + 1)...N)))
92	4, 91	sylbi 216	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) /\ (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N)) -> (M...N) = ((M...K) u. ((K + 1)...N)))
93		elfzelz 7652	. . . 4 |- (K e. (M...N) -> K e. ZZ)
94		elfzle1 7653	. . . 4 |- (K e. (M...N) -> M <_ K)
95		elfzle2 7654	. . . 4 |- (K e. (M...N) -> K <_ N)
96	93, 94, 95	3jca 1050	. . 3 |- (K e. (M...N) -> (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N))
97	92, 96	sylan2 500	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) /\ K e. (M...N)) -> (M...N) = ((M...K) u. ((K + 1)...N)))
98	3, 97	sylancom 531	1 |- ((N e. A /\ K e. (M...N)) -> (M...N) = ((M...K) u. ((K + 1)...N)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   u. cun 2591  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ...cfz 7637

This theorem is referenced by:  elfzp12 15795

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-fz 7638

Copyright terms: Public domain