Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzspl Structured version   Unicode version

Theorem fzspl 26092
Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. (more generic than fzsuc 11517) (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzspl  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N } ) )

Proof of Theorem fzspl
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10885 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
21zcnd 10763 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  CC )
3 1z 10691 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  1  e.  ZZ )
54zcnd 10763 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  1  e.  CC )
6 npcan 9634 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
72, 5, 6syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
87eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) ) )
98ibir 242 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 eluzelre 10886 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
1110lem1d 10281 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  <_  N )
121, 11jca 532 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <_  N ) )
131, 4zsubcld 10767 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
14 eluz1 10880 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1
) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <_  N ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <_  N )
) )
1612, 15mpbird 232 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
179, 16jca 532 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) ) )
18 fzsplit2 11489 . . 3  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
207oveq1d 6121 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 ) ... N )  =  ( N ... N
) )
21 fzsn 11515 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ... N )  =  { N } )
221, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N ... N )  =  { N } )
2320, 22eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 ) ... N )  =  { N } )
2423uneq2d 3525 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  u.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 ) ... N
) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N } ) )
2524eqeq2d 2454 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M ... N )  =  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  (
( ( N  - 
1 )  +  1 ) ... N ) )  <->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N } ) ) )
2619, 25mpbid 210 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3341   {csn 3892   class class class wbr 4307   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   CCcc 9295   1c1 9298    + caddc 9300    <_ cle 9434    - cmin 9610   ZZcz 10661   ZZ>=cuz 10876   ...cfz 11452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453
This theorem is referenced by:  ballotlemfp1  26889
  Copyright terms: Public domain W3C validator