MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsn Structured version   Unicode version

Theorem fzsn 11750
Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzsn  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )

Proof of Theorem fzsn
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 11722 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... M )  ->  k  =  M )
2 elfz3 11721 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( M ... M
) )
3 eleq1 2529 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  M  e.  ( M ... M ) ) )
42, 3syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  =  M  -> 
k  e.  ( M ... M ) ) )
51, 4impbid2 204 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  =  M ) )
6 elsn 4046 . . 3  |-  ( k  e.  { M }  <->  k  =  M )
75, 6syl6bbr 263 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  e.  { M } ) )
87eqrdv 2454 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   {csn 4032  (class class class)co 6296   ZZcz 10885   ...cfz 11697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-neg 9827  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
This theorem is referenced by:  fzsuc  11752  fzpred  11753  fzpr  11760  fzsuc2  11762  1fv  11817  fzosn  11888  seqf1o  12150  hashsng  12440  sumsn  13574  fsum1  13575  fsumm1  13577  fsum1p  13579  prodsn  13778  fprod1  13779  fprod1p  13783  fprodabs  13789  ef0lem  13825  fprodefsum  13841  phi1  14314  4sqlem19  14492  vdwlem8  14517  strle1  14742  gsumws1  16133  telgsumfzs  17144  srgbinom  17322  psrbaglefi  18149  psrbaglefiOLD  18150  pmatcollpw3fi1lem1  19413  pmatcollpw3fi1  19415  imasdsf1olem  21001  voliunlem1  22085  ply1termlem  22725  pntpbnd1  23896  0spth  24699  eupa0  25100  iuninc  27565  fzspl  27750  esumfzf  28231  ballotlemfc0  28606  ballotlemfcc  28607  plymulx0  28679  signstf0  28700  subfac1  28797  subfacp1lem1  28798  subfacp1lem5  28803  subfacp1lem6  28804  cvmliftlem10  28914  binomfallfac  29338  sdclem1  30398  fdc  30400  sumsnd  31562  fzdifsuc2  31673  sumsnf  31731  prodsnf  31748  dvnmul  31901  stoweidlem17  31960
  Copyright terms: Public domain W3C validator