MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsn Structured version   Unicode version

Theorem fzsn 11620
Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzsn  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )

Proof of Theorem fzsn
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 11582 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... M )  ->  k  =  M )
2 elfz3 11581 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( M ... M
) )
3 eleq1 2526 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  M  e.  ( M ... M ) ) )
42, 3syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  =  M  -> 
k  e.  ( M ... M ) ) )
51, 4impbid2 204 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  =  M ) )
6 elsn 4002 . . 3  |-  ( k  e.  { M }  <->  k  =  M )
75, 6syl6bbr 263 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  e.  { M } ) )
87eqrdv 2451 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {csn 3988  (class class class)co 6203   ZZcz 10760   ...cfz 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-neg 9712  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558
This theorem is referenced by:  fzsuc  11622  fzpred  11623  fzpr  11631  fzsuc2  11634  1fv  11652  elfzp12  11659  fzosn  11726  seqf1o  11967  hashsng  12256  sumsn  13338  fsum1  13339  fsumm1  13341  fsum1p  13343  ef0lem  13485  phi1  13969  4sqlem19  14145  vdwlem8  14170  strle1  14391  gsumws1  15639  srgbinom  16769  psrbaglefi  17567  psrbaglefiOLD  17568  imasdsf1olem  20083  voliunlem1  21167  ply1termlem  21807  pntpbnd1  22971  0spth  23642  eupa0  23767  iuninc  26082  fzspl  26242  esumfzf  26683  ballotlemfc0  27039  ballotlemfcc  27040  plymulx0  27112  signstf0  27133  subfac1  27230  subfacp1lem1  27231  subfacp1lem5  27236  subfacp1lem6  27237  cvmliftlem10  27347  prodsn  27637  fprod1  27638  fprod1p  27642  fprodabs  27648  fprodefsum  27649  binomfallfac  27708  sdclem1  28807  fdc  28809  sumsnd  29916  stoweidlem17  29980  telescfzgsum  30982  pmatcollpw3fi1lem1  31293  pmatcollpw3fi1  31295
  Copyright terms: Public domain W3C validator