MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsn Structured version   Unicode version

Theorem fzsn 11724
Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzsn  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )

Proof of Theorem fzsn
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 11696 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... M )  ->  k  =  M )
2 elfz3 11695 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( M ... M
) )
3 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  M  e.  ( M ... M ) ) )
42, 3syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  =  M  -> 
k  e.  ( M ... M ) ) )
51, 4impbid2 204 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  =  M ) )
6 elsn 4041 . . 3  |-  ( k  e.  { M }  <->  k  =  M )
75, 6syl6bbr 263 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  e.  { M } ) )
87eqrdv 2464 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027  (class class class)co 6283   ZZcz 10863   ...cfz 11671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-neg 9807  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672
This theorem is referenced by:  fzsuc  11726  fzpred  11727  fzpr  11734  fzsuc2  11736  elfzp12  11756  1fv  11788  fzosn  11853  seqf1o  12115  hashsng  12405  sumsn  13525  fsum1  13526  fsumm1  13528  fsum1p  13530  ef0lem  13675  phi1  14161  4sqlem19  14339  vdwlem8  14364  strle1  14585  gsumws1  15836  telgsumfzs  16818  srgbinom  16993  psrbaglefi  17810  psrbaglefiOLD  17811  pmatcollpw3fi1lem1  19070  pmatcollpw3fi1  19072  imasdsf1olem  20627  voliunlem1  21711  ply1termlem  22351  pntpbnd1  23515  0spth  24265  eupa0  24666  iuninc  27117  fzspl  27282  esumfzf  27731  ballotlemfc0  28087  ballotlemfcc  28088  plymulx0  28160  signstf0  28181  subfac1  28278  subfacp1lem1  28279  subfacp1lem5  28284  subfacp1lem6  28285  cvmliftlem10  28395  prodsn  28685  fprod1  28686  fprod1p  28690  fprodabs  28696  fprodefsum  28697  binomfallfac  28756  sdclem1  29855  fdc  29857  sumsnd  30995  stoweidlem17  31333
  Copyright terms: Public domain W3C validator