MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsn Structured version   Unicode version

Theorem fzsn 11492
Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzsn  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )

Proof of Theorem fzsn
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 11454 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... M )  ->  k  =  M )
2 elfz3 11453 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( M ... M
) )
3 eleq1 2498 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  M  e.  ( M ... M ) ) )
42, 3syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  =  M  -> 
k  e.  ( M ... M ) ) )
51, 4impbid2 204 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  =  M ) )
6 elsn 3886 . . 3  |-  ( k  e.  { M }  <->  k  =  M )
75, 6syl6bbr 263 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  e.  { M } ) )
87eqrdv 2436 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3872  (class class class)co 6086   ZZcz 10638   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-neg 9590  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  fzsuc  11494  fzpred  11495  fzpr  11503  fzsuc2  11506  1fv  11524  elfzp12  11531  fzosn  11598  seqf1o  11839  hashsng  12128  sumsn  13209  fsum1  13210  fsumm1  13212  fsum1p  13214  ef0lem  13356  phi1  13840  4sqlem19  14016  vdwlem8  14041  strle1  14261  gsumws1  15508  srgbinom  16631  psrbaglefi  17418  psrbaglefiOLD  17419  imasdsf1olem  19923  voliunlem1  21006  ply1termlem  21646  pntpbnd1  22810  0spth  23421  eupa0  23546  iuninc  25862  fzspl  26028  esumfzf  26470  ballotlemfc0  26827  ballotlemfcc  26828  plymulx0  26900  signstf0  26921  subfac1  27018  subfacp1lem1  27019  subfacp1lem5  27024  subfacp1lem6  27025  cvmliftlem10  27135  prodsn  27424  fprod1  27425  fprod1p  27429  fprodabs  27435  fprodefsum  27436  binomfallfac  27495  sdclem1  28592  fdc  28594  sumsnd  29701  stoweidlem17  29765
  Copyright terms: Public domain W3C validator