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Theorem fzshftral 11543
Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzshftral  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, K    j, M, k    j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzshftral
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10653 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 fzrevral 11540 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
31, 2mp3an3 1298 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N
) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
433adant3 1003 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
5 zsubcl 10683 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  N
)  e.  ZZ )
61, 5mpan 665 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  -  N )  e.  ZZ )
7 zsubcl 10683 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  M
)  e.  ZZ )
81, 7mpan 665 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  -  M )  e.  ZZ )
9 id 22 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ZZ )
10 fzrevral 11540 . . . 4  |-  ( ( ( 0  -  N
)  e.  ZZ  /\  ( 0  -  M
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... (
0  -  M ) ) [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M
) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) ) [. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph ) )
116, 8, 9, 10syl3an 1255 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  (
( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
12113com12 1186 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  (
( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
13 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( K  -  k )  e. 
_V
14 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( K  -  k )  ->  (
0  -  x )  =  ( 0  -  ( K  -  k
) ) )
1514sbcco3g 3692 . . . . 5  |-  ( ( K  -  k )  e.  _V  ->  ( [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph ) )
1613, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  ( [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph )
1716ralbii 2737 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph )
18 zcn 10647 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
19 zcn 10647 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
20 zcn 10647 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
21 df-neg 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  -u M  =  ( 0  -  M )
2221oveq2i 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  -  -u M )  =  ( K  -  (
0  -  M ) )
23 subneg 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  -u M
)  =  ( K  +  M ) )
24 addcom 9551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  +  M
)  =  ( M  +  K ) )
2523, 24eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  -u M
)  =  ( M  +  K ) )
2622, 25syl5eqr 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  (
0  -  M ) )  =  ( M  +  K ) )
27263adant3 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  ( 0  -  M ) )  =  ( M  +  K ) )
28 df-neg 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
2928oveq2i 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  -  -u N )  =  ( K  -  (
0  -  N ) )
30 subneg 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  -u N
)  =  ( K  +  N ) )
31 addcom 9551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  +  N
)  =  ( N  +  K ) )
3230, 31eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  -u N
)  =  ( N  +  K ) )
3329, 32syl5eqr 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  (
0  -  N ) )  =  ( N  +  K ) )
34333adant2 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  ( 0  -  N ) )  =  ( N  +  K ) )
3527, 34oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
36353coml 1189 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
3718, 19, 20, 36syl3an 1255 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
3837raleqdv 2921 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph ) )
39 elfzelz 11449 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  ->  k  e.  ZZ )
4039zcnd 10744 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  ->  k  e.  CC )
41 df-neg 9594 . . . . . . . . 9  |-  -u ( K  -  k )  =  ( 0  -  ( K  -  k
) )
42 negsubdi2 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  -> 
-u ( K  -  k )  =  ( k  -  K ) )
4341, 42syl5eqr 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 0  -  ( K  -  k )
)  =  ( k  -  K ) )
4420, 40, 43syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )  -> 
( 0  -  ( K  -  k )
)  =  ( k  -  K ) )
45 dfsbcq 3185 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  -  ( K  -  k ) )  =  ( k  -  K )  ->  ( [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
4644, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )  -> 
( [. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  [. ( k  -  K )  /  j ]. ph ) )
4746ralbidva 2729 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
48473ad2ant3 1006 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
4938, 48bitrd 253 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
5017, 49syl5bb 257 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
514, 12, 503bitrd 279 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   [.wsbc 3183  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278    + caddc 9281    - cmin 9591   -ucneg 9592   ZZcz 10642   ...cfz 11433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434
This theorem is referenced by:  fzoshftral  11632  fprodser  27391
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