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Theorem fzshftral 11908
Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzshftral  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, K    j, M, k    j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzshftral
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10972 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 fzrevral 11905 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
31, 2mp3an3 1379 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N
) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
433adant3 1050 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
5 zsubcl 11003 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  N
)  e.  ZZ )
61, 5mpan 684 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  -  N )  e.  ZZ )
7 zsubcl 11003 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  M
)  e.  ZZ )
81, 7mpan 684 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  -  M )  e.  ZZ )
9 id 22 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ZZ )
10 fzrevral 11905 . . . 4  |-  ( ( ( 0  -  N
)  e.  ZZ  /\  ( 0  -  M
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... (
0  -  M ) ) [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M
) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) ) [. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph ) )
116, 8, 9, 10syl3an 1334 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  (
( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
12113com12 1235 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  (
( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
13 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( K  -  k )  e. 
_V
14 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( K  -  k )  ->  (
0  -  x )  =  ( 0  -  ( K  -  k
) ) )
1514sbcco3g 3792 . . . . 5  |-  ( ( K  -  k )  e.  _V  ->  ( [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph ) )
1613, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  ( [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph )
1716ralbii 2823 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph )
18 zcn 10966 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
19 zcn 10966 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
20 zcn 10966 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
21 df-neg 9883 . . . . . . . . . . 11  |-  -u M  =  ( 0  -  M )
2221oveq2i 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  -  -u M )  =  ( K  -  (
0  -  M ) )
23 subneg 9943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  -u M
)  =  ( K  +  M ) )
24 addcom 9837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  +  M
)  =  ( M  +  K ) )
2523, 24eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  -u M
)  =  ( M  +  K ) )
2622, 25syl5eqr 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  (
0  -  M ) )  =  ( M  +  K ) )
27263adant3 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  ( 0  -  M ) )  =  ( M  +  K ) )
28 df-neg 9883 . . . . . . . . . . 11  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
2928oveq2i 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  -  -u N )  =  ( K  -  (
0  -  N ) )
30 subneg 9943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  -u N
)  =  ( K  +  N ) )
31 addcom 9837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  +  N
)  =  ( N  +  K ) )
3230, 31eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  -u N
)  =  ( N  +  K ) )
3329, 32syl5eqr 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  (
0  -  N ) )  =  ( N  +  K ) )
34333adant2 1049 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  ( 0  -  N ) )  =  ( N  +  K ) )
3527, 34oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
36353coml 1238 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
3718, 19, 20, 36syl3an 1334 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
3837raleqdv 2979 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph ) )
39 elfzelz 11826 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  ->  k  e.  ZZ )
4039zcnd 11064 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  ->  k  e.  CC )
41 df-neg 9883 . . . . . . . . 9  |-  -u ( K  -  k )  =  ( 0  -  ( K  -  k
) )
42 negsubdi2 9953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  -> 
-u ( K  -  k )  =  ( k  -  K ) )
4341, 42syl5eqr 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 0  -  ( K  -  k )
)  =  ( k  -  K ) )
4420, 40, 43syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )  -> 
( 0  -  ( K  -  k )
)  =  ( k  -  K ) )
4544sbceq1d 3260 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )  -> 
( [. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  [. ( k  -  K )  /  j ]. ph ) )
4645ralbidva 2828 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
47463ad2ant3 1053 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
4838, 47bitrd 261 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
4917, 48syl5bb 265 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
504, 12, 493bitrd 287 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557    + caddc 9560    - cmin 9880   -ucneg 9881   ZZcz 10961   ...cfz 11810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811
This theorem is referenced by:  fzoshftral  12053  fprodser  14080  prmgaplem7  15106  poimirlem27  32031
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