Theorem fzrevral 11879

Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, k, K   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzrevral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) )
2		elfzelz 11800	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> k e. ZZ )
3		fzrev 11858	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
4	3	anassrs 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
5	2, 4	sylan2 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
6	1, 5	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( K - k ) e. ( M ... N ) )
7		rspsbc 3346	. . . . . . 7 |- ( ( K - k ) e. ( M ... N ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
9	8	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
10	9	3impa 1203	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
11	10	com23 81	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
12	11	ralrimdv 2804	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
13		nfv 1761	. . . 4 |- F/ j K e. ZZ
14		nfcv 2592	. . . . 5 |- F/_ j ( ( K - N ) ... ( K - M ) )
15		nfsbc1v 3287	. . . . 5 |- F/ j [. ( K - k ) / j ]. ph
16	14, 15	nfral 2774	. . . 4 |- F/ j A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph
17		fzrev2i 11860	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( K - j ) e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) )
18		oveq2 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K - j ) -> ( K - k ) = ( K - ( K - j ) ) )
19	18	sbceq1d 3272	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K - j ) -> ( [. ( K - k ) / j ]. ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
20	19	rspcv 3146	. . . . . . . 8 |- ( ( K - j ) e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
21	17, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
22		zcn 10942	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
23		elfzelz 11800	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. ZZ )
24	23	zcnd 11041	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. CC )
25		nncan 9903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ j e. CC ) -> ( K - ( K - j ) ) = j )
26	22, 24, 25	syl2an 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( K - ( K - j ) ) = j )
27	26	eqcomd 2457	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> j = ( K - ( K - j ) ) )
28		sbceq1a 3278	. . . . . . . 8 |- ( j = ( K - ( K - j ) ) -> ( ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
30	21, 29	sylibrd 238	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ph ) )
31	30	ex 436	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( j e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ph ) ) )
32	31	com23 81	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ( j e. ( M ... N ) -> ph ) ) )
33	13, 16, 32	ralrimd 2792	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> A. j e. ( M ... N ) ph ) )
34	33	3ad2ant3 1031	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> A. j e. ( M ... N ) ph ) )
35	12, 34	impbid 194	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   [.wsbc 3267  (class class class)co 6290   CCcc 9537   - cmin 9860   ZZcz 10937   ...cfz 11784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785

This theorem is referenced by:  fzrevral2  11880  fzrevral3  11881  fzshftral  11882