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Theorem fzrevral 11762
Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, K    j, M, k    j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzrevral
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) )  ->  k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) )
2 elfzelz 11688 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M
) )  ->  k  e.  ZZ )
3 fzrev 11742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( ( K  -  N
) ... ( K  -  M ) )  <->  ( K  -  k )  e.  ( M ... N
) ) )
43anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) )  <->  ( K  -  k )  e.  ( M ... N
) ) )
52, 4sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) )  ->  (
k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) )  <->  ( K  -  k )  e.  ( M ... N
) ) )
61, 5mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) )  ->  ( K  -  k )  e.  ( M ... N
) )
7 rspsbc 3421 . . . . . . 7  |-  ( ( K  -  k )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  ->  [. ( K  -  k )  /  j ]. ph ) )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  ->  [. ( K  -  k )  /  j ]. ph ) )
98ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
)  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  ->  [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph ) ) )
1093impa 1191 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) )  -> 
( A. j  e.  ( M ... N
) ph  ->  [. ( K  -  k )  /  j ]. ph )
) )
1110com23 78 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  ->  ( k  e.  ( ( K  -  N
) ... ( K  -  M ) )  ->  [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph ) ) )
1211ralrimdv 2880 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  ->  A. k  e.  ( ( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph ) )
13 nfv 1683 . . . 4  |-  F/ j  K  e.  ZZ
14 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ j
( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
)
15 nfsbc1v 3351 . . . . 5  |-  F/ j
[. ( K  -  k )  /  j ]. ph
1614, 15nfral 2850 . . . 4  |-  F/ j A. k  e.  ( ( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph
17 fzrev2i 11744 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  j
)  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) ) )
18 oveq2 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K  -  j )  ->  ( K  -  k )  =  ( K  -  ( K  -  j
) ) )
19 dfsbcq 3333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  -  k )  =  ( K  -  ( K  -  j
) )  ->  ( [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph  <->  [. ( K  -  ( K  -  j )
)  /  j ]. ph ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K  -  j )  ->  ( [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph  <->  [. ( K  -  ( K  -  j )
)  /  j ]. ph ) )
2120rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  -  j )  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M
) )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph 
->  [. ( K  -  ( K  -  j
) )  /  j ]. ph ) )
2217, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( A. k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) [. ( K  -  k )  /  j ]. ph  ->  [. ( K  -  ( K  -  j ) )  / 
j ]. ph ) )
23 zcn 10869 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
24 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  j  e.  ZZ )
2524zcnd 10967 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  j  e.  CC )
26 nncan 9848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( K  -  ( K  -  j )
)  =  j )
2723, 25, 26syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  ( K  -  j )
)  =  j )
2827eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
j  =  ( K  -  ( K  -  j ) ) )
29 sbceq1a 3342 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( K  -  ( K  -  j
) )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( K  -  ( K  -  j
) )  /  j ]. ph ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ph  <->  [. ( K  -  ( K  -  j
) )  /  j ]. ph ) )
3122, 30sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( A. k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) [. ( K  -  k )  /  j ]. ph  ->  ph ) )
3231ex 434 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
j  e.  ( M ... N )  -> 
( A. k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) [. ( K  -  k )  /  j ]. ph  ->  ph ) ) )
3332com23 78 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph 
->  ( j  e.  ( M ... N )  ->  ph ) ) )
3413, 16, 33ralrimd 2868 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph 
->  A. j  e.  ( M ... N )
ph ) )
35343ad2ant3 1019 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph 
->  A. j  e.  ( M ... N )
ph ) )
3612, 35impbid 191 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   [.wsbc 3331  (class class class)co 6284   CCcc 9490    - cmin 9805   ZZcz 10864   ...cfz 11672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673
This theorem is referenced by:  fzrevral2  11763  fzrevral3  11764  fzshftral  11765
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