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Theorem fzrev 11511
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( J  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )

Proof of Theorem fzrev
StepHypRef Expression
1 ancom 450 . . 3  |-  ( ( ( J  -  K
)  <_  N  /\  M  <_  ( J  -  K ) )  <->  ( M  <_  ( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) )
2 zre 10642 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
3 zre 10642 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
4 zre 10642 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5 suble 9809 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
62, 3, 4, 5syl3an 1260 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
763comr 1195 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
873expb 1188 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( ( J  -  K )  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
98adantll 713 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  -  K )  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K ) )
10 zre 10642 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
11 lesub 9810 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
1210, 2, 3, 11syl3an 1260 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
13123expb 1188 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( M  <_  ( J  -  K
)  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
1413adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
159, 14anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  -  K )  <_  N  /\  M  <_  ( J  -  K )
)  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
) ) )
161, 15syl5rbbr 260 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
)  <->  ( M  <_ 
( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) ) )
17 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
18 zsubcl 10679 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  -  N
)  e.  ZZ )
1918ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( J  -  N
)  e.  ZZ )
2019ad2ant2lr 747 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  N
)  e.  ZZ )
21 zsubcl 10679 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( J  -  M
)  e.  ZZ )
2221ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( J  -  M
)  e.  ZZ )
2322ad2ant2r 746 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  M
)  e.  ZZ )
24 elfz 11435 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( J  -  N
)  e.  ZZ  /\  ( J  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( ( J  -  N ) ... ( J  -  M )
)  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
) ) )
2517, 20, 23, 24syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_ 
( J  -  M
) ) ) )
26 zsubcl 10679 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  -  K
)  e.  ZZ )
2726adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  K
)  e.  ZZ )
28 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
29 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
30 elfz 11435 . . 3  |-  ( ( ( J  -  K
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  ( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  -  K )  e.  ( M ... N )  <-> 
( M  <_  ( J  -  K )  /\  ( J  -  K
)  <_  N )
) )
3216, 25, 313bitr4d 285 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( J  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RRcr 9273    <_ cle 9411    - cmin 9587   ZZcz 10638   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  fzrev2  11512  fzrev3  11514  fzrevral  11536  fsumrev  13238  ballotlemsima  26850  fprodrev  27439
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