MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzprval Structured version   Unicode version

Theorem fzprval 11752
Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on 
NN. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fzprval  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem fzprval
StepHypRef Expression
1 1z 10906 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 fzpr 11747 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) } )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
4 df-2 10606 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
54oveq2i 6306 . . . 4  |-  ( 1 ... 2 )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
64preq2i 4116 . . . 4  |-  { 1 ,  2 }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
73, 5, 63eqtr4i 2506 . . 3  |-  ( 1 ... 2 )  =  { 1 ,  2 }
87raleqi 3067 . 2  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  A. x  e.  { 1 ,  2 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B
) )
9 1ex 9603 . . 3  |-  1  e.  _V
10 2ex 10619 . . 3  |-  2  e.  _V
11 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
12 iftrue 3951 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  =  A )
1311, 12eqeq12d 2489 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <-> 
( F `  1
)  =  A ) )
14 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
2 ) )
15 1ne2 10760 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  2
1615necomi 2737 . . . . . . 7  |-  2  =/=  1
17 pm13.181 2779 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  2  /\  2  =/=  1 )  ->  x  =/=  1
)
1816, 17mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  x  =/=  1 )
1918neneqd 2669 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  -.  x  =  1 )
20 iffalse 3954 . . . . 5  |-  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  B
)  =  B )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  =  B )
2214, 21eqeq12d 2489 . . 3  |-  ( x  =  2  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <-> 
( F `  2
)  =  B ) )
239, 10, 13, 22ralpr 4086 . 2  |-  ( A. x  e.  { 1 ,  2 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
248, 23bitri 249 1  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   ifcif 3945   {cpr 4035   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505    + caddc 9507   2c2 10597   ZZcz 10876   ...cfz 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator