MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzp1ss Structured version   Unicode version

Theorem fzp1ss 11735
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzp1ss  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzp1ss
StepHypRef Expression
1 uzid 11099 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 peano2uz 11138 . 2  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 fzss1 11726 . 2  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( M ... N ) )
41, 2, 33syl 20 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1802    C_ wss 3458   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   1c1 9491    + caddc 9493   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   ...cfz 11676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677
This theorem is referenced by:  seqcl  12101  seqfveq  12105  seqf1olem2  12121  bcm1k  12367  bcpasc  12373  telfsumo  13590  fsumparts  13594  binomlem  13615  prmdiveq  14188  prmdivdiv  14189  ovolicc2lem4  21797  pserdvlem2  22688  advlogexp  22901  wilthlem1  23207  eupares  24840  ballotlemodife  28302  subfacp1lem5  28494  bpolydiflem  29784  stoweidlem26  31693  stoweidlem34  31701
  Copyright terms: Public domain W3C validator