MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzouzdisj Structured version   Unicode version

Theorem fzouzdisj 11581
Description: A half-open integer range does not overlap the upper integer range starting at the endpoint of the first range. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzouzdisj  |-  ( ( A..^ B )  i^i  ( ZZ>= `  B )
)  =  (/)

Proof of Theorem fzouzdisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 3649 . 2  |-  ( ( ( A..^ B )  i^i  ( ZZ>= `  B
) )  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  ( ( A..^ B )  i^i  ( ZZ>= `  B
) ) )
2 elfzolt2 11557 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A..^ B
)  ->  x  <  B )
32adantr 462 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A..^ B )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  x  <  B )
4 eluzle 10869 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  B  <_  x )
54adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A..^ B )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  B  <_  x )
6 eluzel2 10862 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  B  e.  ZZ )
76adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( A..^ B )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  B  e.  ZZ )
87zred 10743 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( A..^ B )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  B  e.  RR )
9 eluzelre 10867 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  x  e.  RR )
109adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( A..^ B )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  x  e.  RR )
118, 10lenltd 9516 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A..^ B )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  ( B  <_  x  <->  -.  x  <  B ) )
125, 11mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A..^ B )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  -.  x  <  B )
133, 12pm2.65i 173 . . 3  |-  -.  (
x  e.  ( A..^ B )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  B )
)
14 elin 3536 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A..^ B )  i^i  ( ZZ>=
`  B ) )  <-> 
( x  e.  ( A..^ B )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
1513, 14mtbir 299 . 2  |-  -.  x  e.  ( ( A..^ B
)  i^i  ( ZZ>= `  B ) )
161, 15mpgbir 1600 1  |-  ( ( A..^ B )  i^i  ( ZZ>= `  B )
)  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    i^i cin 3324   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277    < clt 9414    <_ cle 9415   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857  ..^cfzo 11544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545
This theorem is referenced by:  bitsres  13665  sseqfv1  26702  sseqfn  26703  sseqf  26705  sseqfv2  26707
  Copyright terms: Public domain W3C validator