Theorem fzosump1 13652

Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumm1.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumm1.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsumm1.3	|- ( k = N -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fzosump1	|- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ ( N + 1 ) ) A = ( sum_ k e. ( M..^ N ) A + B ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fzosump1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumm1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 11091	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
4		fzoval 11805	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
5	3, 4	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
6	5	sumeq1d 13608	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A )
7	6	oveq1d 6285	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M..^ N ) A + B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A + B ) )
8		fsumm1.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
9		fsumm1.3	. . 3 |- ( k = N -> A = B )
10	1, 8, 9	fsumm1 13651	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = ( sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A + B ) )
11		fzval3 11866	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M ... N ) = ( M..^ ( N + 1 ) ) )
12	3, 11	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( M..^ ( N + 1 ) ) )
13	12	sumeq1d 13608	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M..^ ( N + 1 ) ) A )
14	7, 10, 13	3eqtr2rd 2502	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ ( N + 1 ) ) A = ( sum_ k e. ( M..^ N ) A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   1c1 9482   + caddc 9484   - cmin 9796   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   sum_csu 13593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594

This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  23876  signsvfn  28806  itgspltprt  32020