Theorem fzosump1 13213

Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumm1.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumm1.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsumm1.3	|- ( k = N -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fzosump1	|- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ ( N + 1 ) ) A = ( sum_ k e. ( M..^ N ) A + B ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fzosump1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumm1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 10862	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
4		fzoval 11546	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
5	3, 4	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
6	5	sumeq1d 13170	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A )
7	6	oveq1d 6101	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M..^ N ) A + B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A + B ) )
8		fsumm1.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
9		fsumm1.3	. . 3 |- ( k = N -> A = B )
10	1, 8, 9	fsumm1 13212	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = ( sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A + B ) )
11		fzval3 11597	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M ... N ) = ( M..^ ( N + 1 ) ) )
12	3, 11	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( M..^ ( N + 1 ) ) )
13	12	sumeq1d 13170	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M..^ ( N + 1 ) ) A )
14	7, 10, 13	3eqtr2rd 2477	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ ( N + 1 ) ) A = ( sum_ k e. ( M..^ N ) A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   1c1 9275   + caddc 9277   - cmin 9587   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   sum_csu 13155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156

This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  22719  signsvfn  26952