Theorem fzosump1 13338

Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumm1.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsumm1.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsumm1.3	|- ( k = N -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fzosump1	|- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ ( N + 1 ) ) A = ( sum_ k e. ( M..^ N ) A + B ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fzosump1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumm1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 10980	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
4		fzoval 11670	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
5	3, 4	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
6	5	sumeq1d 13295	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A )
7	6	oveq1d 6214	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M..^ N ) A + B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A + B ) )
8		fsumm1.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
9		fsumm1.3	. . 3 |- ( k = N -> A = B )
10	1, 8, 9	fsumm1 13337	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = ( sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A + B ) )
11		fzval3 11721	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M ... N ) = ( M..^ ( N + 1 ) ) )
12	3, 11	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( M..^ ( N + 1 ) ) )
13	12	sumeq1d 13295	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M..^ ( N + 1 ) ) A )
14	7, 10, 13	3eqtr2rd 2502	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ ( N + 1 ) ) A = ( sum_ k e. ( M..^ N ) A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   1c1 9393   + caddc 9395   - cmin 9705   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   ...cfz 11553  ..^cfzo 11664   sum_csu 13280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-sum 13281

This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  22871  signsvfn  27126