MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoss2 Structured version   Unicode version

Theorem fzoss2 11817
Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoss2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M..^ K )  C_  ( M..^ N ) )

Proof of Theorem fzoss2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11083 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ZZ )
2 peano2zm 10902 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
4 1zzd 10891 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  1  e.  ZZ )
5 id 22 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
61zcnd 10963 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  CC )
7 ax-1cn 9546 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 npcan 9825 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
109fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ZZ>= `  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  K ) )
115, 10eleqtrrd 2558 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )
12 eluzsub 11107 . . . 4  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) ) )
133, 4, 11, 12syl3anc 1228 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) ) )
14 fzss2 11719 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) )  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
16 fzoval 11794 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( M..^ K )  =  ( M ... ( K  -  1 ) ) )
171, 16syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M..^ K )  =  ( M ... ( K  -  1 ) ) )
18 eluzelz 11087 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ZZ )
19 fzoval 11794 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
2115, 17, 203sstr4d 3547 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M..^ K )  C_  ( M..^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   1c1 9489    + caddc 9491    - cmin 9801   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668  ..^cfzo 11788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789
This theorem is referenced by:  fzossrbm1  11818  fzosplit  11822  fzossfzop1  11857  uzindi  12055  ccatval1  12556  ccatass  12566  swrdval2  12606  swrd0val  12607  swrd0len  12608  swrdccat1  12641  swrdccatin12lem2a  12669  splfv1  12690  revccat  12699  psgnunilem5  16315  efgsp1  16551  efgsres  16552  wwlknred  24399  wwlkm1edg  24411  clwlkisclwwlklem2fv1  24458  clwlkisclwwlklem1  24463  clwwlkf  24470  wwlksubclwwlk  24480  clwwisshclwwlem  24482  clwlkfclwwlk  24520  extwwlkfablem2  24755  iundisjfi  27269  measiuns  27828  wrdres  28134  signstfvp  28168  signstfvc  28171  signstres  28172  signsvfn  28179
  Copyright terms: Public domain W3C validator