MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoss2 Structured version   Unicode version

Theorem fzoss2 11582
Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoss2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M..^ K )  C_  ( M..^ N ) )

Proof of Theorem fzoss2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10871 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ZZ )
2 peano2zm 10693 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
4 1zzd 10682 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  1  e.  ZZ )
5 id 22 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
61zcnd 10753 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  CC )
7 ax-1cn 9345 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 npcan 9624 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
109fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ZZ>= `  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  K ) )
115, 10eleqtrrd 2520 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )
12 eluzsub 10895 . . . 4  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) ) )
133, 4, 11, 12syl3anc 1218 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) ) )
14 fzss2 11503 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) )  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
16 fzoval 11559 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( M..^ K )  =  ( M ... ( K  -  1 ) ) )
171, 16syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M..^ K )  =  ( M ... ( K  -  1 ) ) )
18 eluzelz 10875 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ZZ )
19 fzoval 11559 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
2115, 17, 203sstr4d 3404 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M..^ K )  C_  ( M..^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3333   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   1c1 9288    + caddc 9290    - cmin 9600   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   ...cfz 11442  ..^cfzo 11553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554
This theorem is referenced by:  fzossrbm1  11583  fzosplit  11587  fzossfzop1  11615  uzindi  11808  ccatval1  12281  ccatass  12291  swrdval2  12321  swrd0val  12322  swrd0len  12323  swrdccat1  12356  swrdccatin12lem2a  12381  splfv1  12402  revccat  12411  psgnunilem5  16005  efgsp1  16239  efgsres  16240  iundisjfi  26085  measiuns  26636  wrdres  26943  signstfvp  26977  signstfvc  26980  signstres  26981  signsvfn  26988  elfzom1elfzo  30222  wwlknred  30360  wwlkm1edg  30372  clwlkisclwwlklem2fv1  30449  clwlkisclwwlklem1  30454  clwwlkf  30461  wwlksubclwwlk  30471  clwwisshclwwlem  30475  clwlkfclwwlk  30522  extwwlkfablem2  30676
  Copyright terms: Public domain W3C validator