MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoss1 Structured version   Unicode version

Theorem fzoss1 11575
Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoss1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K..^ N )  C_  ( M..^ N ) )

Proof of Theorem fzoss1
StepHypRef Expression
1 sseq1 3376 . 2  |-  ( ( K..^ N )  =  (/)  ->  ( ( K..^ N )  C_  ( M..^ N )  <->  (/)  C_  ( M..^ N ) ) )
2 fzon0 11568 . . . 4  |-  ( ( K..^ N )  =/=  (/) 
<->  K  e.  ( K..^ N ) )
3 elfzoel2 11551 . . . 4  |-  ( K  e.  ( K..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
42, 3sylbi 195 . . 3  |-  ( ( K..^ N )  =/=  (/)  ->  N  e.  ZZ )
5 fzss1 11496 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
7 fzoval 11553 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K..^ N )  =  ( K ... ( N  -  1 ) ) )
87adantl 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K..^ N )  =  ( K ... ( N  -  1 ) ) )
9 fzoval 11553 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
116, 8, 103sstr4d 3398 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
124, 11sylan2 474 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K..^ N )  =/=  (/) )  -> 
( K..^ N ) 
C_  ( M..^ N
) )
13 0ss 3665 . . 3  |-  (/)  C_  ( M..^ N )
1413a1i 11 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (/)  C_  ( M..^ N ) )
151, 12, 14pm2.61ne 2685 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605    C_ wss 3327   (/)c0 3636   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   1c1 9282    - cmin 9594   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860   ...cfz 11436  ..^cfzo 11547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548
This theorem is referenced by:  fzo0ss1  11578  fzosplit  11581  fzofzp1  11623  fzostep1  11634  injresinjlem  11637  injresinj  11638  ccatval2  12276  ccatass  12285  swrdval2  12315  splfv2a  12397  revccat  12405  fsumparts  13268  dfphi2  13848  efgsp1  16233  efgsres  16234  redwlk  23504  signsvfn  26982  zpnn0elfzo  30219
  Copyright terms: Public domain W3C validator