MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplitsnm1 Structured version   Unicode version

Theorem fzosplitsnm1 11871
Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsnm1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  {
( B  -  1 ) } ) )

Proof of Theorem fzosplitsnm1
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11091 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  ->  B  e.  ZZ )
21zcnd 10966 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  ->  B  e.  CC )
32adantl 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  ->  B  e.  CC )
4 ax-1cn 9539 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 npcan 9820 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
65eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
73, 4, 6sylancl 660 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
87oveq2d 6286 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( A..^ (
( B  -  1 )  +  1 ) ) )
9 eluzp1m1 11105 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A ) )
101adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  ->  B  e.  ZZ )
11 peano2zm 10903 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
12 uzid 11096 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) ) )
13 peano2uz 11135 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) )  ->  ( ( B  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) ) )
1410, 11, 12, 134syl 21 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( ( B  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1
) ) )
15 elfzuzb 11685 . . . 4  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( A ... ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  /\  ( ( B  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) ) ) )
169, 14, 15sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( A ... ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) )
17 fzosplit 11835 . . 3  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( A ... ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  ->  ( A..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( ( B  -  1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  (
( B  -  1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) ) )
191, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
2019adantl 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ZZ )
21 fzosn 11867 . . . 4  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( B  -  1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) )  =  { ( B  - 
1 ) } )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( ( B  - 
1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) )  =  { ( B  -  1 ) } )
2322uneq2d 3644 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( ( B  -  1 )..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
248, 18, 233eqtrd 2499 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  {
( B  -  1 ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    u. cun 3459   {csn 4016   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484    - cmin 9796   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800
This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  11872
  Copyright terms: Public domain W3C validator