Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzosplitsnm1 Unicode version

Theorem fzosplitsnm1 27991
Description: Removing a singleton from a half-open range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsnm1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  {
( B  -  1 ) } ) )

Proof of Theorem fzosplitsnm1
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10452 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  ->  B  e.  ZZ )
21zcnd 10332 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  ->  B  e.  CC )
32adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  ->  B  e.  CC )
4 ax-1cn 9004 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 npcan 9270 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
65eqcomd 2409 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
73, 4, 6sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
87oveq2d 6056 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( A..^ (
( B  -  1 )  +  1 ) ) )
9 eluzp1m1 10465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A ) )
101adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  ->  B  e.  ZZ )
11 peano2zm 10276 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ZZ )
13 uzid 10456 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) ) )
14 peano2uz 10486 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) )  ->  ( ( B  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) ) )
1512, 13, 143syl 19 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( ( B  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1
) ) )
16 elfzuzb 11009 . . . 4  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( A ... ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  /\  ( ( B  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) ) ) )
179, 15, 16sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( A ... ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) )
18 fzosplit 11121 . . 3  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( A ... ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  ->  ( A..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( ( B  -  1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) ) )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  (
( B  -  1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) ) )
201, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
2120adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ZZ )
22 fzosn 11136 . . . 4  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( B  -  1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) )  =  { ( B  - 
1 ) } )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( ( B  - 
1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) )  =  { ( B  -  1 ) } )
2423uneq2d 3461 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( ( B  -  1 )..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
258, 19, 243eqtrd 2440 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  {
( B  -  1 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3278   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   1c1 8947    + caddc 8949    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091
  Copyright terms: Public domain W3C validator