MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplitsnm1 Structured version   Unicode version

Theorem fzosplitsnm1 11600
Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsnm1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  {
( B  -  1 ) } ) )

Proof of Theorem fzosplitsnm1
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10862 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  ->  B  e.  ZZ )
21zcnd 10740 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  ->  B  e.  CC )
32adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  ->  B  e.  CC )
4 ax-1cn 9332 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 npcan 9611 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
65eqcomd 2443 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
73, 4, 6sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
87oveq2d 6102 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( A..^ (
( B  -  1 )  +  1 ) ) )
9 eluzp1m1 10876 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A ) )
101adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  ->  B  e.  ZZ )
11 peano2zm 10680 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
12 uzid 10867 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) ) )
13 peano2uz 10900 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) )  ->  ( ( B  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) ) )
1410, 11, 12, 134syl 21 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( ( B  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1
) ) )
15 elfzuzb 11439 . . . 4  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( A ... ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  /\  ( ( B  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( B  -  1 ) ) ) )
169, 14, 15sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( A ... ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) )
17 fzosplit 11574 . . 3  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( A ... ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  ->  ( A..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( ( B  -  1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  (
( B  -  1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) ) )
191, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
2019adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ZZ )
21 fzosn 11598 . . . 4  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( B  -  1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) )  =  { ( B  - 
1 ) } )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( ( B  - 
1 )..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) )  =  { ( B  -  1 ) } )
2322uneq2d 3505 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( ( B  -  1 )..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
248, 18, 233eqtrd 2474 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  {
( B  -  1 ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3321   {csn 3872   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   1c1 9275    + caddc 9277    - cmin 9587   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541
This theorem is referenced by:  wrdeqswrdlsw  12335  elfzonlteqm1  30196
  Copyright terms: Public domain W3C validator