Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzosplitprm1 Structured version   Unicode version

Theorem fzosplitprm1 30229
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )

Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  e.  ZZ )
2 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ZZ )
3 zre 10655 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4 zre 10655 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
5 ltle 9468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
63, 4, 5syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
763impia 1184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <_  B )
8 eluz2 10872 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) )
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1172 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
10 fzosplitsn 11638 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
12 zcn 10656 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
13 ax-1cn 9345 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
14 npcan 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
1514eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
1612, 13, 15sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
17163ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
1817oveq2d 6112 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ B )  =  ( A..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) )
19 peano2zm 10693 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
20193ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
21 zltlem1 10702 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  A  <_  ( B  - 
1 ) ) )
2221biimp3a 1318 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <_  ( B  -  1 ) )
23 eluz2 10872 . . . . . 6  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  -  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_ 
( B  -  1 ) ) )
241, 20, 22, 23syl3anbrc 1172 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )
25 fzosplitsn 11638 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2718, 26eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ B )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2827uneq1d 3514 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( A..^ B )  u.  { B }
)  =  ( ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } ) )
29 unass 3518 . . 3  |-  ( ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } ) )
30 df-pr 3885 . . . . . 6  |-  { ( B  -  1 ) ,  B }  =  ( { ( B  - 
1 ) }  u.  { B } )
3130eqcomi 2447 . . . . 5  |-  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } )  =  {
( B  -  1 ) ,  B }
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( { ( B  - 
1 ) }  u.  { B } )  =  { ( B  - 
1 ) ,  B } )
3332uneq2d 3515 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
3429, 33syl5eq 2487 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
3511, 28, 343eqtrd 2479 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3331   {csn 3882   {cpr 3884   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   1c1 9288    + caddc 9290    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866  ..^cfzo 11553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554
This theorem is referenced by:  numclwwlkovf2ex  30684
  Copyright terms: Public domain W3C validator