MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplit Structured version   Unicode version

Theorem fzosplit 11827
Description: Split a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosplit  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  =  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )

Proof of Theorem fzosplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  x  e.  ( B..^ C ) )
2 elfzelz 11689 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  D  e.  ZZ )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  D  e.  ZZ )
4 fzospliti 11826 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
51, 3, 4syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  -> 
( x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
6 elun 3645 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C ) )  <->  ( x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
75, 6sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  x  e.  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C ) ) )
87ex 434 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  (
x  e.  ( B..^ C )  ->  x  e.  ( ( B..^ D
)  u.  ( D..^ C ) ) ) )
98ssrdv 3510 . 2  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  C_  (
( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )
10 elfzuz3 11686 . . . 4  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  D )
)
11 fzoss2 11822 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  D
)  ->  ( B..^ D )  C_  ( B..^ C ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ D )  C_  ( B..^ C ) )
13 elfzuz 11685 . . . 4  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)
14 fzoss1 11821 . . . 4  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( D..^ C )  C_  ( B..^ C ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( D..^ C )  C_  ( B..^ C ) )
1612, 15unssd 3680 . 2  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  (
( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) )  C_  ( B..^ C ) )
179, 16eqssd 3521 1  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  =  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474    C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   ...cfz 11673  ..^cfzo 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794
This theorem is referenced by:  fzosplitsnm1  11859  fzo0to42pr  11870  fzo0sn0fzo1  11871  fzosplitsn  11887  ccatrn  12572  2swrdeqwrdeq  12644  dchrisumlem1  23499  dchrisumlem2  23500  wwlknext  24497
  Copyright terms: Public domain W3C validator