MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoshftral Structured version   Unicode version

Theorem fzoshftral 11882
Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a half-open integer range, analogous to fzshftral 11756. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzoshftral  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M..^ N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, K, k    j, M, k    j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzoshftral
StepHypRef Expression
1 fzoval 11789 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
213ad2ant2 1013 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
32raleqdv 3059 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M..^ N ) ph  <->  A. j  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ph ) )
4 peano2zm 10897 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 fzshftral 11756 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... (
( N  -  1 )  +  K ) ) [. ( k  -  K )  / 
j ]. ph ) )
64, 5syl3an2 1257 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( ( N  -  1 )  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
7 zaddcl 10894 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
873adant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ZZ )
9 fzoval 11789 . . . . 5  |-  ( ( N  +  K )  e.  ZZ  ->  (
( M  +  K
)..^ ( N  +  K ) )  =  ( ( M  +  K ) ... (
( N  +  K
)  -  1 ) ) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)..^ ( N  +  K ) )  =  ( ( M  +  K ) ... (
( N  +  K
)  -  1 ) ) )
11 zcn 10860 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
13 zcn 10860 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1413adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  CC )
15 ax-1cn 9541 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
1712, 14, 16addsubd 9942 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  K )  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  +  K ) )
18173adant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( N  +  K
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  +  K ) )
1918oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
) ... ( ( N  +  K )  - 
1 ) )  =  ( ( M  +  K ) ... (
( N  -  1 )  +  K ) ) )
2010, 19eqtr2d 2504 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
) ... ( ( N  -  1 )  +  K ) )  =  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K ) ) )
2120raleqdv 3059 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( ( N  -  1 )  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K
) ) [. (
k  -  K )  /  j ]. ph )
)
223, 6, 213bitrd 279 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M..^ N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   [.wsbc 3326  (class class class)co 6277   CCcc 9481   1c1 9484    + caddc 9486    - cmin 9796   ZZcz 10855   ...cfz 11663  ..^cfzo 11783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784
This theorem is referenced by:  swrdspsleq  12625
  Copyright terms: Public domain W3C validator