Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzoopth Structured version   Unicode version

Theorem fzoopth 30384
Description: A half-open integer range can represent an ordered pair, analogous to fzopth 11616. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzoopth  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  <->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) ) )

Proof of Theorem fzoopth
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N ) )
2 fzolb 11679 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N ) )
31, 2sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ( M..^ N ) )
4 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )
53, 4eleqtrd 2544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ( J..^ K ) )
6 elfzouz 11678 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( J..^ K
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  J )
)
7 uzss 10996 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  J ) )
85, 6, 73syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  J ) )
9 el2fzo 30383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  J  e.  ( J..^ K ) ) )
109imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  J  e.  ( J..^ K ) )
1110, 4eleqtrrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  J  e.  ( M..^ N ) )
12 elfzouz 11678 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ( ZZ>= `  M )
)
13 uzss 10996 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  J )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
1411, 12, 133syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  J )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
158, 14eqssd 3484 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  J ) )
16 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ZZ )
17 uz11 10998 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  J
)  <->  M  =  J
) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  =  ( ZZ>= `  J )  <->  M  =  J ) )
1915, 18mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  =  J )
20 fzoend 11739 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( J..^ K
)  ->  ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K ) )
21 elfzoel2 11673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  K  e.  ZZ )
22 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J..^ K )  =  ( M..^ N )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( M..^ N ) ) )
2322eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( M..^ N ) ) )
24 elfzo2 11677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  <->  ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )
25 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  K  e.  ZZ )
26 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
27 zlem1lt 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( K  -  1 )  <  N ) )
2827ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( K  -  1 )  <  N ) )
2928biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  <  N  ->  K  <_  N )
)
3029impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1
)  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  K  <_  N )
)
3130impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  K  <_  N )
3225, 26, 313jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
3332expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1
)  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
34333adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  < 
N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
3534a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  < 
N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  -> 
( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
3624, 35sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
3723, 36syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) ) )
3837com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  (
( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
4039com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
4121, 40mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
4220, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( J..^ K
)  ->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
4310, 42mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
44 eluz2 10982 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
4544biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
46 uzss 10996 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  K ) )
4743, 45, 463syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  K ) )
482biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( M..^ N ) )
49 fzoend 11739 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N ) )
50 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N )  <-> 
( N  -  1 )  e.  ( J..^ K ) ) )
51 elfzo2 11677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  <->  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )
52 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
53523ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
5453com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  <  K )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
55543adant1 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  < 
K )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
5651, 55sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
5750, 56syl6bi 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) ) )
5857com3l 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) ) )
5949, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) ) )
6048, 59mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
6160imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) )
62 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  N  e.  ZZ )
63 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  K  e.  ZZ )
64 zlem1lt 10811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  K  <->  ( N  -  1 )  <  K ) )
6564ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  K  <->  ( N  -  1 )  <  K ) )
6665biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  <  K  ->  N  <_  K )
)
6766impancom 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  <  K )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  K )
)
6867impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  N  <_  K )
69 eluz2 10982 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  <_  K ) )
7062, 63, 68, 69syl3anbrc 1172 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)
71 uzss 10996 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  N ) )
7261, 70, 713syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  N ) )
7347, 72eqssd 3484 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
74 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  N  e.  ZZ )
75 uz11 10998 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ZZ>= `  N )  =  ( ZZ>= `  K
)  <->  N  =  K
) )
7674, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ( ZZ>=
`  N )  =  ( ZZ>= `  K )  <->  N  =  K ) )
7773, 76mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  N  =  K )
7819, 77jca 532 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) )
7978ex 434 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) ) )
80 oveq12 6212 . 2  |-  ( ( M  =  J  /\  N  =  K )  ->  ( M..^ N )  =  ( J..^ K
) )
8179, 80impbid1 203 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  <->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9398    < clt 9533    <_ cle 9534    - cmin 9710   ZZcz 10761   ZZ>=cuz 10976  ..^cfzo 11669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670
This theorem is referenced by:  2ffzoeq  30385
  Copyright terms: Public domain W3C validator