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Theorem fzoopth 32130
Description: A half-open integer range can represent an ordered pair, analogous to fzopth 11732. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzoopth  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  <->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) ) )

Proof of Theorem fzoopth
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N ) )
2 fzolb 11814 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N ) )
31, 2sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ( M..^ N ) )
4 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )
53, 4eleqtrd 2557 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ( J..^ K ) )
6 elfzouz 11813 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( J..^ K
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  J )
)
7 uzss 11114 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  J ) )
85, 6, 73syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  J ) )
9 el2fzo 32129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  J  e.  ( J..^ K ) ) )
109imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  J  e.  ( J..^ K ) )
1110, 4eleqtrrd 2558 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  J  e.  ( M..^ N ) )
12 elfzouz 11813 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ( ZZ>= `  M )
)
13 uzss 11114 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  J )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
1411, 12, 133syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  J )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
158, 14eqssd 3526 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  J ) )
16 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ZZ )
17 uz11 11116 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  J
)  <->  M  =  J
) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  =  ( ZZ>= `  J )  <->  M  =  J ) )
1915, 18mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  =  J )
20 fzoend 11883 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( J..^ K
)  ->  ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K ) )
21 elfzoel2 11808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  K  e.  ZZ )
22 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J..^ K )  =  ( M..^ N )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( M..^ N ) ) )
2322eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( M..^ N ) ) )
24 elfzo2 11812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  <->  ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )
25 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  K  e.  ZZ )
26 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
27 zlem1lt 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( K  -  1 )  <  N ) )
2827ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( K  -  1 )  <  N ) )
2928biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  <  N  ->  K  <_  N )
)
3029impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1
)  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  K  <_  N )
)
3130impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  K  <_  N )
3225, 26, 313jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
3332expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1
)  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
34333adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  < 
N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
3534a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  < 
N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  -> 
( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
3624, 35sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
3723, 36syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) ) )
3837com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  (
( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
4039com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
4121, 40mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
4220, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( J..^ K
)  ->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
4310, 42mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
44 eluz2 11100 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
4544biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
46 uzss 11114 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  K ) )
4743, 45, 463syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  K ) )
482biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( M..^ N ) )
49 fzoend 11883 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N ) )
50 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N )  <-> 
( N  -  1 )  e.  ( J..^ K ) ) )
51 elfzo2 11812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  <->  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )
52 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
53523ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
5453com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  <  K )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
55543adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  < 
K )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
5651, 55sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
5750, 56syl6bi 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) ) )
5857com3l 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) ) )
5949, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) ) )
6048, 59mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
6160imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) )
62 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  N  e.  ZZ )
63 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  K  e.  ZZ )
64 zlem1lt 10926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  K  <->  ( N  -  1 )  <  K ) )
6564ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  K  <->  ( N  -  1 )  <  K ) )
6665biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  <  K  ->  N  <_  K )
)
6766impancom 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  <  K )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  K )
)
6867impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  N  <_  K )
69 eluz2 11100 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  <_  K ) )
7062, 63, 68, 69syl3anbrc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)
71 uzss 11114 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  N ) )
7261, 70, 713syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  N ) )
7347, 72eqssd 3526 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
74 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  N  e.  ZZ )
75 uz11 11116 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ZZ>= `  N )  =  ( ZZ>= `  K
)  <->  N  =  K
) )
7674, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ( ZZ>=
`  N )  =  ( ZZ>= `  K )  <->  N  =  K ) )
7773, 76mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  N  =  K )
7819, 77jca 532 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) )
7978ex 434 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) ) )
80 oveq12 6304 . 2  |-  ( ( M  =  J  /\  N  =  K )  ->  ( M..^ N )  =  ( J..^ K
) )
8179, 80impbid1 203 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  <->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094  ..^cfzo 11804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805
This theorem is referenced by:  2ffzoeq  32131
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