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Theorem fzoopth 38751
Description: A half-open integer range can represent an ordered pair, analogous to fzopth 11835. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzoopth  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  <->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) ) )

Proof of Theorem fzoopth
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N ) )
2 fzolb 11926 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N ) )
31, 2sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ( M..^ N ) )
4 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )
53, 4eleqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ( J..^ K ) )
6 elfzouz 11924 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( J..^ K
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  J )
)
7 uzss 11179 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  J ) )
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  J ) )
92biimpri 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( M..^ N ) )
109adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ( M..^ N ) )
11 eleq2 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( M  e.  ( M..^ N )  <-> 
M  e.  ( J..^ K ) ) )
1211adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( M  e.  ( M..^ N )  <-> 
M  e.  ( J..^ K ) ) )
1310, 12mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ( J..^ K ) )
14 elfzolt3b 11932 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( J..^ K
)  ->  J  e.  ( J..^ K ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  J  e.  ( J..^ K ) )
1615, 4eleqtrrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  J  e.  ( M..^ N ) )
17 elfzouz 11924 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ( ZZ>= `  M )
)
18 uzss 11179 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  J )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
1916, 17, 183syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  J )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
208, 19eqssd 3481 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  J ) )
21 simpl1 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ZZ )
22 uz11 11181 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  J
)  <->  M  =  J
) )
2321, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  =  ( ZZ>= `  J )  <->  M  =  J ) )
2420, 23mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  =  J )
25 fzoend 12001 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( J..^ K
)  ->  ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K ) )
26 elfzoel2 11919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  K  e.  ZZ )
27 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J..^ K )  =  ( M..^ N )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( M..^ N ) ) )
2827eqcoms 2434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( M..^ N ) ) )
29 elfzo2 11923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  <->  ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )
30 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  K  e.  ZZ )
31 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
32 zlem1lt 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( K  -  1 )  <  N ) )
3332ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( K  -  1 )  <  N ) )
3433biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  <  N  ->  K  <_  N )
)
3534impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1
)  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  K  <_  N )
)
3635impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  K  <_  N )
3730, 31, 363jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  <  N ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
3837expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1
)  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
39383adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  < 
N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
4039a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  < 
N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  -> 
( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
4129, 40sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
4228, 41syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) ) )
4342com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  (
( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) ) )
4443impcom 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
4544com13 83 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  -  1 )  e.  ( J..^ K )  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) ) )
4626, 45mpcom 37 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
4725, 46syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( J..^ K
)  ->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
4815, 47mpcom 37 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
49 eluz2 11165 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
5049biimpri 209 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
51 uzss 11179 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  K ) )
5248, 50, 513syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  K ) )
53 fzoend 12001 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N ) )
54 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N )  <-> 
( N  -  1 )  e.  ( J..^ K ) ) )
55 elfzo2 11923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  <->  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )
56 pm3.2 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
57563ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
5857com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  <  K )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
59583adant1 1023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  < 
K )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
6055, 59sylbi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( J..^ K
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
6154, 60syl6bi 231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M..^ N )  =  ( J..^ K )  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) ) )
6261com3l 84 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) ) )
6353, 62syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) ) )
649, 63mpcom 37 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) ) )
6564imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) ) )
66 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  N  e.  ZZ )
67 simprl 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  K  e.  ZZ )
68 zlem1lt 10988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  K  <->  ( N  -  1 )  <  K ) )
6968ancoms 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  K  <->  ( N  -  1 )  <  K ) )
7069biimprd 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  <  K  ->  N  <_  K )
)
7170impancom 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  <  K )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  K )
)
7271impcom 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  N  <_  K )
73 eluz2 11165 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  <_  K ) )
7466, 67, 72, 73syl3anbrc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <  K ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)
75 uzss 11179 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  N ) )
7665, 74, 753syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  K )  C_  ( ZZ>=
`  N ) )
7752, 76eqssd 3481 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
78 simpl2 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  N  e.  ZZ )
79 uz11 11181 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ZZ>= `  N )  =  ( ZZ>= `  K
)  <->  N  =  K
) )
8078, 79syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( ( ZZ>=
`  N )  =  ( ZZ>= `  K )  <->  N  =  K ) )
8177, 80mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  N  =  K )
8224, 81jca 534 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) )
8382ex 435 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) ) )
84 oveq12 6310 . 2  |-  ( ( M  =  J  /\  N  =  K )  ->  ( M..^ N )  =  ( J..^ K
) )
8583, 84impbid1 206 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  <->  ( M  =  J  /\  N  =  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    C_ wss 3436   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   1c1 9540    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159  ..^cfzo 11915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916
This theorem is referenced by:  2ffzoeq  38752
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