MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzomaxdiflem Structured version   Unicode version

Theorem fzomaxdiflem 13141
Description: Lemma for fzomaxdif 13142. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzomaxdiflem  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( abs `  ( B  -  A )
)  e.  ( 0..^ ( D  -  C
) ) )

Proof of Theorem fzomaxdiflem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 11798 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  B  e.  ZZ )
21adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  B  e.  ZZ )
3 elfzoelz 11798 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( C..^ D
)  ->  A  e.  ZZ )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  A  e.  ZZ )
52, 4zsubcld 10972 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  A )  e.  ZZ )
65zred 10967 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( B  -  A
)  e.  RR )
82zred 10967 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  B  e.  RR )
94zred 10967 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  A  e.  RR )
108, 9subge0d 10143 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( 0  <_  ( B  -  A )  <->  A  <_  B ) )
1110biimpar 485 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
0  <_  ( B  -  A ) )
12 absid 13095 . . 3  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( B  -  A ) )  -> 
( abs `  ( B  -  A )
)  =  ( B  -  A ) )
137, 11, 12syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( abs `  ( B  -  A )
)  =  ( B  -  A ) )
14 elfzoel1 11796 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  C  e.  ZZ )
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  C  e.  ZZ )
1615zred 10967 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  C  e.  RR )
178, 16resubcld 9988 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  C )  e.  RR )
18 elfzoel2 11797 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  D  e.  ZZ )
1918adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  D  e.  ZZ )
2019, 15zsubcld 10972 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( D  -  C )  e.  ZZ )
2120zred 10967 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( D  -  C )  e.  RR )
22 elfzole1 11805 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( C..^ D
)  ->  C  <_  A )
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  C  <_  A )
2416, 9, 8, 23lesub2dd 10170 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  A )  <_  ( B  -  C )
)
2519zred 10967 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  D  e.  RR )
26 elfzolt2 11806 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  B  <  D )
2726adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  B  <  D )
288, 25, 16, 27ltsub1dd 10165 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  C )  <  ( D  -  C )
)
296, 17, 21, 24, 28lelttrd 9740 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  A )  <  ( D  -  C )
)
3029adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( B  -  A
)  <  ( D  -  C ) )
31 0zd 10877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  0  e.  ZZ )
32 elfzo 11800 . . . . 5  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( D  -  C )  e.  ZZ )  ->  (
( B  -  A
)  e.  ( 0..^ ( D  -  C
) )  <->  ( 0  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A )  <  ( D  -  C
) ) ) )
335, 31, 20, 32syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( ( B  -  A )  e.  ( 0..^ ( D  -  C ) )  <-> 
( 0  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A
)  <  ( D  -  C ) ) ) )
3433adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( ( B  -  A )  e.  ( 0..^ ( D  -  C ) )  <->  ( 0  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A )  <  ( D  -  C
) ) ) )
3511, 30, 34mpbir2and 920 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( B  -  A
)  e.  ( 0..^ ( D  -  C
) ) )
3613, 35eqeltrd 2555 1  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( abs `  ( B  -  A )
)  e.  ( 0..^ ( D  -  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   RRcr 9492   0cc0 9493    < clt 9629    <_ cle 9630    - cmin 9806   ZZcz 10865  ..^cfzo 11793   abscabs 13033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035
This theorem is referenced by:  fzomaxdif  13142
  Copyright terms: Public domain W3C validator