MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofzp1b Structured version   Unicode version

Theorem fzofzp1b 11884
Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofzp1b  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C  e.  ( A..^ B )  <-> 
( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) ) )

Proof of Theorem fzofzp1b
StepHypRef Expression
1 fzofzp1 11883 . 2  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B
) )
2 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  A ) )
3 eluzelz 11094 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  C  e.  ZZ )
4 elfzuz3 11689 . . . . . 6  |-  ( ( C  +  1 )  e.  ( A ... B )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )
5 eluzp1m1 11108 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1
) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  C ) )
63, 4, 5syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  C ) )
7 elfzuzb 11686 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( A ... ( B  -  1
) )  <->  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
82, 6, 7sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  C  e.  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
9 elfzel2 11690 . . . . . 6  |-  ( ( C  +  1 )  e.  ( A ... B )  ->  B  e.  ZZ )
109adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  B  e.  ZZ )
11 fzoval 11804 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  -> 
( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1
) ) )
138, 12eleqtrrd 2532 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) )  ->  C  e.  ( A..^ B ) )
1413ex 434 . 2  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( C  +  1 )  e.  ( A ... B )  ->  C  e.  ( A..^ B ) ) )
151, 14impbid2 204 1  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C  e.  ( A..^ B )  <-> 
( C  +  1 )  e.  ( A ... B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   1c1 9491    + caddc 9493    - cmin 9805   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   ...cfz 11676  ..^cfzo 11798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator