MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofzp1 Structured version   Unicode version

Theorem fzofzp1 11948
Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofzp1  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B
) )

Proof of Theorem fzofzp1
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 11859 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  A  e.  ZZ )
2 uzid 11143 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  ( ZZ>= `  A )
)
3 peano2uz 11182 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A )
)
4 fzoss1 11886 . . . 4  |-  ( ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A  +  1 )..^ ( B  +  1 ) )  C_  ( A..^ ( B  +  1 ) ) )
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( ( A  +  1 )..^ ( B  +  1 ) )  C_  ( A..^ ( B  +  1 ) ) )
6 1z 10937 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
7 fzoaddel 11907 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( A..^ B )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( C  +  1 )  e.  ( ( A  +  1 )..^ ( B  +  1 ) ) )
86, 7mpan2 671 . . 3  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( C  +  1 )  e.  ( ( A  + 
1 )..^ ( B  +  1 ) ) )
95, 8sseldd 3445 . 2  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( C  +  1 )  e.  ( A..^ ( B  +  1 ) ) )
10 elfzoel2 11860 . . 3  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  B  e.  ZZ )
11 fzval3 11923 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A ... B )  =  ( A..^ ( B  +  1 ) ) )
1210, 11syl 17 . 2  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( A ... B )  =  ( A..^ ( B  + 
1 ) ) )
139, 12eleqtrrd 2495 1  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844    C_ wss 3416   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   1c1 9525    + caddc 9527   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129   ...cfz 11728  ..^cfzo 11856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857
This theorem is referenced by:  fzofzp1b  11949  seqcaopr3  12188  seqcaopr2  12189  seqf1olem2a  12191  swrds1  12734  swrds2  12941  telfsumo  13769  telfsumo2  13770  fsumparts  13773  prodfn0  13857  prodfrec  13858  psgnunilem2  16846  gsumzaddlem  17260  gsumzaddlemOLD  17262  dvfsumle  22716  dvfsumge  22717  dvfsumabs  22718  dvntaylp  23060  taylthlem2  23063  pntlemr  24170  pntlemj  24171  wlkdvspthlem  25038  usg2wlkeq  25137  wwlknred  25152  monoords  36878  fmul01  36955  dvnmptdivc  37116  dvnmul  37121  stoweidlem3  37166  fourierdlem1  37271  fourierdlem12  37282  fourierdlem14  37284  fourierdlem15  37285  fourierdlem20  37290  fourierdlem25  37295  fourierdlem27  37297  fourierdlem41  37311  fourierdlem46  37316  fourierdlem48  37318  fourierdlem49  37319  fourierdlem50  37320  fourierdlem54  37324  fourierdlem63  37333  fourierdlem64  37334  fourierdlem65  37335  fourierdlem69  37339  fourierdlem70  37340  fourierdlem71  37341  fourierdlem72  37342  fourierdlem73  37343  fourierdlem74  37344  fourierdlem75  37345  fourierdlem76  37346  fourierdlem79  37349  fourierdlem80  37350  fourierdlem81  37351  fourierdlem84  37354  fourierdlem88  37358  fourierdlem89  37359  fourierdlem90  37360  fourierdlem91  37361  fourierdlem92  37362  fourierdlem93  37363  fourierdlem94  37364  fourierdlem97  37367  fourierdlem101  37371  fourierdlem102  37372  fourierdlem103  37373  fourierdlem104  37374  fourierdlem111  37381  fourierdlem113  37383  fourierdlem114  37384  fzopred  37683  iccpartipre  37701  iccelpart  37713  iccpartiun  37714  icceuelpartlem  37715  icceuelpart  37716  iccpartdisj  37717  iccpartnel  37718  bgoldbtbndlem2  37867  bgoldbtbndlem3  37868
  Copyright terms: Public domain W3C validator