MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofzp1 Structured version   Unicode version

Theorem fzofzp1 11873
Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofzp1  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B
) )

Proof of Theorem fzofzp1
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 11791 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  A  e.  ZZ )
2 uzid 11092 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  ( ZZ>= `  A )
)
3 peano2uz 11130 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A )
)
4 fzoss1 11816 . . . 4  |-  ( ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A  +  1 )..^ ( B  +  1 ) )  C_  ( A..^ ( B  +  1 ) ) )
51, 2, 3, 44syl 21 . . 3  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( ( A  +  1 )..^ ( B  +  1 ) )  C_  ( A..^ ( B  +  1 ) ) )
6 1z 10890 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
7 fzoaddel 11837 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( A..^ B )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( C  +  1 )  e.  ( ( A  +  1 )..^ ( B  +  1 ) ) )
86, 7mpan2 671 . . 3  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( C  +  1 )  e.  ( ( A  + 
1 )..^ ( B  +  1 ) ) )
95, 8sseldd 3505 . 2  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( C  +  1 )  e.  ( A..^ ( B  +  1 ) ) )
10 elfzoel2 11792 . . 3  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  B  e.  ZZ )
11 fzval3 11849 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A ... B )  =  ( A..^ ( B  +  1 ) ) )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( A ... B )  =  ( A..^ ( B  + 
1 ) ) )
139, 12eleqtrrd 2558 1  |-  ( C  e.  ( A..^ B
)  ->  ( C  +  1 )  e.  ( A ... B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489    + caddc 9491   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668  ..^cfzo 11788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789
This theorem is referenced by:  fzofzp1b  11874  seqcaopr3  12106  seqcaopr2  12107  seqf1olem2a  12109  swrds1  12635  swrds2  12842  telfsumo  13575  telfsumo2  13576  fsumparts  13579  psgnunilem2  16316  gsumzaddlem  16725  gsumzaddlemOLD  16727  dvfsumle  22157  dvfsumge  22158  dvfsumabs  22159  dvntaylp  22500  taylthlem2  22503  pntlemr  23515  pntlemj  23516  wlkdvspthlem  24285  usg2wlkeq  24384  wwlknred  24399  prodfn0  28605  prodfrec  28606  monoords  31073  fmul01  31130  stoweidlem3  31303  fourierdlem1  31408  fourierdlem12  31419  fourierdlem14  31421  fourierdlem15  31422  fourierdlem20  31427  fourierdlem25  31432  fourierdlem27  31434  fourierdlem41  31448  fourierdlem46  31453  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem50  31457  fourierdlem54  31461  fourierdlem63  31470  fourierdlem64  31471  fourierdlem65  31472  fourierdlem69  31476  fourierdlem70  31477  fourierdlem71  31478  fourierdlem72  31479  fourierdlem73  31480  fourierdlem74  31481  fourierdlem75  31482  fourierdlem76  31483  fourierdlem79  31486  fourierdlem80  31487  fourierdlem81  31488  fourierdlem84  31491  fourierdlem88  31495  fourierdlem89  31496  fourierdlem90  31497  fourierdlem91  31498  fourierdlem92  31499  fourierdlem93  31500  fourierdlem94  31501  fourierdlem97  31504  fourierdlem101  31508  fourierdlem102  31509  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fourierdlem111  31518  fourierdlem113  31520  fourierdlem114  31521
  Copyright terms: Public domain W3C validator