MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Unicode version

Theorem fzofi 12040
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi  |-  ( M..^ N )  e.  Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 11787 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
21adantl 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
3 fzfi 12038 . . 3  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin
42, 3syl6eqel 2556 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
5 fzof 11783 . . . . 5  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
65fdmi 5727 . . . 4  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
76ndmov 6434 . . 3  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
8 0fin 7737 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
97, 8syl6eqel 2556 . 2  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  e.  Fin )
104, 9pm2.61i 164 1  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003    X. cxp 4990  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   1c1 9482    - cmin 9794   ZZcz 10853   ...cfz 11661  ..^cfzo 11781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782
This theorem is referenced by:  uzindi  12047  hashfirdm  12453  iswrd  12503  wrdfin  12514  hashwrdn  12525  telfsumo  13565  fsumparts  13569  geoserg  13629  bitsfi  13935  bitsinv1  13940  bitsinvp1  13947  sadcaddlem  13955  sadadd2lem  13957  sadadd3  13959  sadaddlem  13964  sadasslem  13968  sadeq  13970  crt  14156  phimullem  14157  eulerthlem2  14160  eulerth  14161  cshwshashnsame  14435  ablfaclem3  16921  ablfac2  16923  iunmbl  21691  volsup  21694  dvfsumle  22150  dvfsumge  22151  dvfsumabs  22152  advlogexp  22757  dchrisumlem1  23395  dchrisumlem2  23396  dchrisum  23398  vdegp1ai  24646  vdegp1bi  24647  ccatmulgnn0dir  28122  ofcccat  28124  signsplypnf  28133  signsvvf  28162  phisum  30753  fourierdlem25  31387  fourierdlem70  31432  fourierdlem71  31433  fourierdlem73  31435  fourierdlem79  31441  fourierdlem80  31442
  Copyright terms: Public domain W3C validator