MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Unicode version

Theorem fzofi 12123
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi  |-  ( M..^ N )  e.  Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 11858 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
21adantl 464 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
3 fzfi 12121 . . 3  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin
42, 3syl6eqel 2498 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
5 fzof 11854 . . . . 5  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
65fdmi 5718 . . . 4  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
76ndmov 6439 . . 3  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
8 0fin 7781 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
97, 8syl6eqel 2498 . 2  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  e.  Fin )
104, 9pm2.61i 164 1  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954    X. cxp 4820  (class class class)co 6277   Fincfn 7553   1c1 9522    - cmin 9840   ZZcz 10904   ...cfz 11724  ..^cfzo 11852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853
This theorem is referenced by:  uzindi  12130  hashfirdm  12547  iswrdOLD  12598  wrdfin  12611  hashwrdn  12624  telfsumo  13765  fsumparts  13769  geoserg  13827  bitsfi  14294  bitsinv1  14299  bitsinvp1  14306  sadcaddlem  14314  sadadd2lem  14316  sadadd3  14318  sadaddlem  14323  sadasslem  14327  sadeq  14329  crt  14515  phimullem  14516  eulerthlem2  14519  eulerth  14520  cshwshashnsame  14795  ablfaclem3  17456  ablfac2  17458  iunmbl  22253  volsup  22256  dvfsumle  22712  dvfsumge  22713  dvfsumabs  22714  advlogexp  23328  dchrisumlem1  24053  dchrisumlem2  24054  dchrisum  24056  vdegp1ai  25388  vdegp1bi  25389  fz1nnct  28040  sigapildsys  28596  carsgclctunlem3  28754  ccatmulgnn0dir  28988  ofcccat  28990  signsplypnf  28999  signsvvf  29028  mvrsfpw  29705  phisum  35503  fourierdlem25  37263  fourierdlem70  37308  fourierdlem71  37309  fourierdlem73  37311  fourierdlem79  37317  fourierdlem80  37318  nn0sumshdiglemA  38731  nn0sumshdiglemB  38732  nn0mullong  38737
  Copyright terms: Public domain W3C validator