MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Unicode version

Theorem fzofi 12193
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi  |-  ( M..^ N )  e.  Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 11928 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
21adantl 467 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
3 fzfi 12191 . . 3  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin
42, 3syl6eqel 2515 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
5 fzof 11924 . . . . 5  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
65fdmi 5751 . . . 4  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
76ndmov 6467 . . 3  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
8 0fin 7808 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
97, 8syl6eqel 2515 . 2  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  e.  Fin )
104, 9pm2.61i 167 1  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981    X. cxp 4851  (class class class)co 6305   Fincfn 7580   1c1 9547    - cmin 9867   ZZcz 10944   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923
This theorem is referenced by:  uzindi  12200  hashfirdm  12618  iswrdOLD  12677  wrdfin  12690  hashwrdn  12703  telfsumo  13861  fsumparts  13865  geoserg  13923  bitsfi  14410  bitsinv1  14415  bitsinvp1  14422  sadcaddlem  14430  sadadd2lem  14432  sadadd3  14434  sadaddlem  14439  sadasslem  14443  sadeq  14445  crt  14725  phimullem  14726  eulerthlem2  14729  eulerth  14730  prmgaplem3  15022  cshwshashnsame  15073  ablfaclem3  17719  ablfac2  17721  iunmbl  22504  volsup  22507  dvfsumle  22971  dvfsumge  22972  dvfsumabs  22973  advlogexp  23598  dchrisumlem1  24325  dchrisumlem2  24326  dchrisum  24328  vdegp1ai  25710  vdegp1bi  25711  fz1nnct  28383  sigapildsys  28992  carsgclctunlem3  29160  ccatmulgnn0dir  29436  ofcccat  29438  signsplypnf  29447  signsvvf  29476  mvrsfpw  30152  poimirlem26  31930  poimirlem27  31931  poimirlem28  31932  poimirlem30  31934  phisum  36046  amgm2d  36620  amgm3d  36621  amgm4d  36622  fourierdlem25  37934  fourierdlem70  37980  fourierdlem71  37981  fourierdlem73  37983  fourierdlem79  37989  fourierdlem80  37990  meaiunlelem  38214  nn0sumshdiglemA  40051  nn0sumshdiglemB  40052  nn0mullong  40057
  Copyright terms: Public domain W3C validator