MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Unicode version

Theorem fzofi 12066
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi  |-  ( M..^ N )  e.  Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 11812 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
21adantl 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
3 fzfi 12064 . . 3  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin
42, 3syl6eqel 2539 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
5 fzof 11808 . . . . 5  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
65fdmi 5726 . . . 4  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
76ndmov 6444 . . 3  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
8 0fin 7749 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
97, 8syl6eqel 2539 . 2  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  e.  Fin )
104, 9pm2.61i 164 1  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997    X. cxp 4987  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   1c1 9496    - cmin 9810   ZZcz 10871   ...cfz 11683  ..^cfzo 11806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807
This theorem is referenced by:  uzindi  12073  hashfirdm  12482  iswrd  12532  wrdfin  12543  hashwrdn  12555  telfsumo  13598  fsumparts  13602  geoserg  13659  bitsfi  14069  bitsinv1  14074  bitsinvp1  14081  sadcaddlem  14089  sadadd2lem  14091  sadadd3  14093  sadaddlem  14098  sadasslem  14102  sadeq  14104  crt  14290  phimullem  14291  eulerthlem2  14294  eulerth  14295  cshwshashnsame  14570  ablfaclem3  17117  ablfac2  17119  iunmbl  21941  volsup  21944  dvfsumle  22400  dvfsumge  22401  dvfsumabs  22402  advlogexp  23014  dchrisumlem1  23652  dchrisumlem2  23653  dchrisum  23655  vdegp1ai  24962  vdegp1bi  24963  ccatmulgnn0dir  28474  ofcccat  28476  signsplypnf  28485  signsvvf  28514  mvrsfpw  28844  phisum  31135  fourierdlem25  31868  fourierdlem70  31913  fourierdlem71  31914  fourierdlem73  31916  fourierdlem79  31922  fourierdlem80  31923
  Copyright terms: Public domain W3C validator