MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzof Structured version   Unicode version

Theorem fzof 11555
Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzof  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ

Proof of Theorem fzof
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssuz 11504 . . . . 5  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  m )
2 uzssz 10885 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  m )  C_  ZZ
31, 2sstri 3370 . . . 4  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  C_  ZZ
4 ovex 6121 . . . . 5  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  e. 
_V
54elpw 3871 . . . 4  |-  ( ( m ... ( n  -  1 ) )  e.  ~P ZZ  <->  ( m ... ( n  -  1 ) )  C_  ZZ )
63, 5mpbir 209 . . 3  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  e. 
~P ZZ
76rgen2w 2789 . 2  |-  A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  ( m ... ( n  -  1
) )  e.  ~P ZZ
8 df-fzo 11554 . . 3  |- ..^  =  ( m  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( m ... ( n  - 
1 ) ) )
98fmpt2 6646 . 2  |-  ( A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  ( m ... ( n  -  1
) )  e.  ~P ZZ 
<-> ..^
: ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ )
107, 9mpbi 208 1  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   A.wral 2720    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865    X. cxp 4843   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   1c1 9288    - cmin 9600   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   ...cfz 11442  ..^cfzo 11553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-neg 9603  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554
This theorem is referenced by:  elfzoel1  11556  elfzoel2  11557  elfzoelz  11558  fzoval  11559  fzofi  11801
  Copyright terms: Public domain W3C validator