MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzof Structured version   Unicode version

Theorem fzof 11806
Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzof  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ

Proof of Theorem fzof
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssuz 11736 . . . . 5  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  m )
2 uzssz 11113 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  m )  C_  ZZ
31, 2sstri 3518 . . . 4  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  C_  ZZ
4 ovex 6320 . . . . 5  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  e. 
_V
54elpw 4022 . . . 4  |-  ( ( m ... ( n  -  1 ) )  e.  ~P ZZ  <->  ( m ... ( n  -  1 ) )  C_  ZZ )
63, 5mpbir 209 . . 3  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  e. 
~P ZZ
76rgen2w 2829 . 2  |-  A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  ( m ... ( n  -  1
) )  e.  ~P ZZ
8 df-fzo 11805 . . 3  |- ..^  =  ( m  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( m ... ( n  - 
1 ) ) )
98fmpt2 6862 . 2  |-  ( A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  ( m ... ( n  -  1
) )  e.  ~P ZZ 
<-> ..^
: ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ )
107, 9mpbi 208 1  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   A.wral 2817    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016    X. cxp 5003   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505    - cmin 9817   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-neg 9820  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805
This theorem is referenced by:  elfzoel1  11807  elfzoel2  11808  elfzoelz  11809  fzoval  11810  fzofi  12064
  Copyright terms: Public domain W3C validator