MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzocongeq Structured version   Unicode version

Theorem fzocongeq 14052
Description: Two different elements of a half-open range are not congruent mod its length. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzocongeq  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( ( D  -  C )  ||  ( A  -  B
)  <->  A  =  B
) )

Proof of Theorem fzocongeq
StepHypRef Expression
1 elfzoel2 11825 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  D  e.  ZZ )
2 elfzoel1 11824 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  C  e.  ZZ )
31, 2zsubcld 10995 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  ( D  -  C )  e.  ZZ )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( D  -  C )  e.  ZZ )
5 elfzoelz 11826 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( C..^ D
)  ->  A  e.  ZZ )
6 elfzoelz 11826 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  B  e.  ZZ )
7 zsubcl 10927 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
85, 6, 7syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
9 dvdsabsb 14015 . . . 4  |-  ( ( ( D  -  C
)  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( D  -  C )  ||  ( A  -  B
)  <->  ( D  -  C )  ||  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) )
104, 8, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( ( D  -  C )  ||  ( A  -  B
)  <->  ( D  -  C )  ||  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) )
11 fzomaxdif 13188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  ( 0..^ ( D  -  C ) ) )
12 fzo0dvdseq 14051 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  e.  ( 0..^ ( D  -  C ) )  ->  ( ( D  -  C )  ||  ( abs `  ( A  -  B )
)  <->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  0 ) )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( ( D  -  C )  ||  ( abs `  ( A  -  B )
)  <->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  0 ) )
1410, 13bitrd 253 . 2  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( ( D  -  C )  ||  ( A  -  B
)  <->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  0 ) )
155zcnd 10991 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( C..^ D
)  ->  A  e.  CC )
166zcnd 10991 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  B  e.  CC )
17 subcl 9838 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
1815, 16, 17syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
1918abs00ad 13135 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  =  0  <->  ( A  -  B )  =  0 ) )
20 subeq0 9864 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
2115, 16, 20syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <->  A  =  B ) )
2219, 21bitrd 253 . 2  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  =  0  <->  A  =  B
) )
2314, 22bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( ( D  -  C )  ||  ( A  -  B
)  <->  A  =  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509    - cmin 9824   ZZcz 10885  ..^cfzo 11821   abscabs 13079    || cdvds 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999
This theorem is referenced by:  odf1o2  16720
  Copyright terms: Public domain W3C validator