MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoaddel Structured version   Unicode version

Theorem fzoaddel 11698
Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoaddel  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  +  D )  e.  ( ( B  +  D )..^ ( C  +  D ) ) )

Proof of Theorem fzoaddel
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 11652 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  e.  ZZ )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
32zred 10848 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
4 elfzoelz 11654 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
65zred 10848 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
87zred 10848 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  RR )
9 elfzole1 11661 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  <_  A )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  <_  A )
113, 6, 8, 10leadd1dd 10054 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( B  +  D )  <_  ( A  +  D
) )
12 elfzoel2 11653 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
1413zred 10848 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  C  e.  RR )
15 elfzolt2 11662 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  <  C )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  <  C )
176, 14, 8, 16ltadd1dd 10051 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  +  D )  <  ( C  +  D
) )
18 zaddcl 10786 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  +  D
)  e.  ZZ )
194, 18sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  +  D )  e.  ZZ )
20 zaddcl 10786 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( B  +  D
)  e.  ZZ )
211, 20sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( B  +  D )  e.  ZZ )
22 zaddcl 10786 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  D
)  e.  ZZ )
2312, 22sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  D )  e.  ZZ )
24 elfzo 11656 . . 3  |-  ( ( ( A  +  D
)  e.  ZZ  /\  ( B  +  D
)  e.  ZZ  /\  ( C  +  D
)  e.  ZZ )  ->  ( ( A  +  D )  e.  ( ( B  +  D )..^ ( C  +  D ) )  <->  ( ( B  +  D )  <_  ( A  +  D
)  /\  ( A  +  D )  <  ( C  +  D )
) ) )
2519, 21, 23, 24syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  D
)  e.  ( ( B  +  D )..^ ( C  +  D
) )  <->  ( ( B  +  D )  <_  ( A  +  D
)  /\  ( A  +  D )  <  ( C  +  D )
) ) )
2611, 17, 25mpbir2and 913 1  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  +  D )  e.  ( ( B  +  D )..^ ( C  +  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4390  (class class class)co 6190    + caddc 9386    < clt 9519    <_ cle 9520   ZZcz 10747  ..^cfzo 11649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-fzo 11650
This theorem is referenced by:  fzoaddel2  11699  fzosubel  11700  fzofzp1  11725  fzostep1  11736  splfv2a  12500  fargshiftlem  23655
  Copyright terms: Public domain W3C validator