MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo1fzo0n0 Structured version   Unicode version

Theorem fzo1fzo0n0 11759
Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzo1fzo0n0  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  0
) )

Proof of Theorem fzo1fzo0n0
StepHypRef Expression
1 elfzo2 11725 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )
2 elnnuz 11037 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  <->  K  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3 nnnn0 10719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
43adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  NN0 )
54adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N
)  ->  K  e.  NN0 )
6 nngt0 10481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
7 0red 9508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
8 nnre 10459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
98adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
10 zre 10785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1110adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
12 lttr 9572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <  K  /\  K  <  N )  ->  0  <  N
) )
137, 9, 11, 12syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( 0  < 
K  /\  K  <  N )  ->  0  <  N ) )
14 elnnz 10791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
1514simplbi2 623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
1615adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( 0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
1713, 16syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( 0  < 
K  /\  K  <  N )  ->  N  e.  NN ) )
1817exp4b 605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN  ->  ( 0  <  K  -> 
( K  <  N  ->  N  e.  NN ) ) ) )
1918com13 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <  K  ->  ( K  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  <  N  ->  N  e.  NN )
) ) )
206, 19mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  <  N  ->  N  e.  NN )
) )
2120imp31 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N
)  ->  N  e.  NN )
22 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N
)  ->  K  <  N )
235, 21, 223jca 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N
)  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2423exp31 602 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  <  N  -> 
( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N ) ) ) )
252, 24sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  <  N  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) ) ) )
26253imp 1188 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
27 elfzo0 11758 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) )
2826, 27sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  ->  K  e.  ( 0..^ N ) )
29 nnne0 10485 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  ->  K  =/=  0 )
302, 29sylbir 213 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  K  =/=  0 )
31303ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  ->  K  =/=  0 )
3228, 31jca 530 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  ->  ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  0 ) )
331, 32sylbi 195 . 2  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  0
) )
34 elnnne0 10726 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 ) )
35 nnge1 10478 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  ->  1  <_  K )
3634, 35sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 )  -> 
1  <_  K )
37363ad2antl1 1156 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  /\  K  =/=  0 )  -> 
1  <_  K )
38 simpl3 999 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  /\  K  =/=  0 )  ->  K  <  N )
39 nn0z 10804 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
4039adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  ZZ )
41 1zzd 10812 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
42 nnz 10803 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
4342adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
4440, 41, 433jca 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
45443adant3 1014 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
4645adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  /\  K  =/=  0 )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
47 elfzo 11724 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( 1  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
4846, 47syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  /\  K  =/=  0 )  -> 
( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( 1  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
4937, 38, 48mpbir2and 920 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  /\  K  =/=  0 )  ->  K  e.  ( 1..^ N ) )
5027, 49sylanb 470 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  0 )  ->  K  e.  ( 1..^ N ) )
5133, 50impbii 188 1  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  0
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1826    =/= wne 2577   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    < clt 9539    <_ cle 9540   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001  ..^cfzo 11717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  14334  clwwisshclww  24928  modn0mul  33333
  Copyright terms: Public domain W3C validator