MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr Structured version   Unicode version

Theorem fzo0to42pr 12001
Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 10888 . . . 4  |-  2  e.  NN0
2 4nn0 10890 . . . 4  |-  4  e.  NN0
3 2re 10681 . . . . 5  |-  2  e.  RR
4 4re 10688 . . . . 5  |-  4  e.  RR
5 2lt4 10782 . . . . 5  |-  2  <  4
63, 4, 5ltleii 9759 . . . 4  |-  2  <_  4
7 elfz2nn0 11887 . . . 4  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  <->  ( 2  e.  NN0  /\  4  e.  NN0  /\  2  <_ 
4 ) )
81, 2, 6, 7mpbir3an 1188 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
9 fzosplit 11953 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
0..^ 4 )  =  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) ) )
108, 9ax-mp 5 . 2  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) )
11 fzo0to2pr 11999 . . 3  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
12 4z 10973 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
13 fzoval 11923 . . . . 5  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  (
2..^ 4 )  =  ( 2 ... (
4  -  1 ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 2..^ 4 )  =  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )
15 4cn 10689 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
16 ax-1cn 9599 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
17 3cn 10686 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
18 df-4 10672 . . . . . . . . . 10  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1917, 16addcomi 9826 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 )
2018, 19eqtri 2452 . . . . . . . . 9  |-  4  =  ( 1  +  3 )
2120eqcomi 2436 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  3 )  =  4
2215, 16, 17, 21subaddrii 9966 . . . . . . 7  |-  ( 4  -  1 )  =  3
23 df-3 10671 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2422, 23eqtri 2452 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  ( 2  +  1 )
2524oveq2i 6314 . . . . 5  |-  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )  =  ( 2 ... (
2  +  1 ) )
26 2z 10971 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
27 fzpr 11853 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
2925, 28eqtri 2452 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
3023eqcomi 2436 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3130preq2i 4081 . . . 4  |-  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }  =  { 2 ,  3 }
3214, 29, 313eqtri 2456 . . 3  |-  ( 2..^ 4 )  =  {
2 ,  3 }
3311, 32uneq12i 3619 . 2  |-  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
3410, 33eqtri 2452 1  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1438    e. wcel 1869    u. cun 3435   {cpr 3999   class class class wbr 4421  (class class class)co 6303   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    <_ cle 9678    - cmin 9862   2c2 10661   3c3 10662   4c4 10663   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ...cfz 11786  ..^cfzo 11917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918
This theorem is referenced by:  4cycl4v4e  25386  4cycl4dv4e  25388
  Copyright terms: Public domain W3C validator