MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr Structured version   Unicode version

Theorem fzo0to42pr 11860
Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 10803 . . . 4  |-  2  e.  NN0
2 4nn0 10805 . . . 4  |-  4  e.  NN0
3 2re 10596 . . . . 5  |-  2  e.  RR
4 4re 10603 . . . . 5  |-  4  e.  RR
5 2lt4 10697 . . . . 5  |-  2  <  4
63, 4, 5ltleii 9698 . . . 4  |-  2  <_  4
7 elfz2nn0 11759 . . . 4  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  <->  ( 2  e.  NN0  /\  4  e.  NN0  /\  2  <_ 
4 ) )
81, 2, 6, 7mpbir3an 1173 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
9 fzosplit 11817 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
0..^ 4 )  =  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) ) )
108, 9ax-mp 5 . 2  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) )
11 fzo0to2pr 11858 . . 3  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
122nn0zi 10880 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
13 fzoval 11789 . . . . 5  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  (
2..^ 4 )  =  ( 2 ... (
4  -  1 ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 2..^ 4 )  =  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )
15 4cn 10604 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
16 ax-1cn 9541 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
17 3cn 10601 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
18 df-4 10587 . . . . . . . . . 10  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1917, 16addcomi 9761 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 )
2018, 19eqtri 2491 . . . . . . . . 9  |-  4  =  ( 1  +  3 )
2120eqcomi 2475 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  3 )  =  4
2215, 16, 17, 21subaddrii 9899 . . . . . . 7  |-  ( 4  -  1 )  =  3
23 df-3 10586 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2422, 23eqtri 2491 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  ( 2  +  1 )
2524oveq2i 6288 . . . . 5  |-  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )  =  ( 2 ... (
2  +  1 ) )
26 2z 10887 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
27 fzpr 11726 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
2925, 28eqtri 2491 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 4  -  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
3023eqcomi 2475 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3130preq2i 4105 . . . 4  |-  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }  =  { 2 ,  3 }
3214, 29, 313eqtri 2495 . . 3  |-  ( 2..^ 4 )  =  {
2 ,  3 }
3311, 32uneq12i 3651 . 2  |-  ( ( 0..^ 2 )  u.  ( 2..^ 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
3410, 33eqtri 2491 1  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762    u. cun 3469   {cpr 4024   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    <_ cle 9620    - cmin 9796   2c2 10576   3c3 10577   4c4 10578   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   ...cfz 11663  ..^cfzo 11783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784
This theorem is referenced by:  4cycl4v4e  24330  4cycl4dv4e  24332
  Copyright terms: Public domain W3C validator