MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0to3tp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fzo0to3tp 12029
Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to3tp  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }

Proof of Theorem fzo0to3tp
StepHypRef Expression
1 3z 10998 . . 3  |-  3  e.  ZZ
2 fzoval 11951 . . 3  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0..^ 3 )  =  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( 0..^ 3 )  =  ( 0 ... ( 3  -  1 ) )
4 3m1e2 10753 . . . 4  |-  ( 3  -  1 )  =  2
5 2cn 10707 . . . . 5  |-  2  e.  CC
65addid2i 9846 . . . 4  |-  ( 0  +  2 )  =  2
74, 6eqtr4i 2486 . . 3  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 0  +  2 )
87oveq2i 6325 . 2  |-  ( 0 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 0 ... (
0  +  2 ) )
9 0z 10976 . . 3  |-  0  e.  ZZ
10 fztp 11880 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
11 eqidd 2462 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  =  0 )
12 0p1e1 10748 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
146a1i 11 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
1511, 13, 14tpeq123d 4078 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1610, 15eqtrd 2495 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
179, 16ax-mp 5 . 2  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
183, 8, 173eqtri 2487 1  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1454    e. wcel 1897   {ctp 3983  (class class class)co 6314   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567    - cmin 9885   2c2 10686   3c3 10687   ZZcz 10965   ...cfz 11812  ..^cfzo 11945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946
This theorem is referenced by:  s3fn  13041  wrd3tpop  13071  trgcgrg  24608  tgcgr4  24624  3v3e3cycl1  25420  constr3trllem1  25426  constr3trllem2  25427  constr3trllem5  25430  2pthdlem1  39878  31wlkdlem2  39900  upgr3v3e3cycl  39920
  Copyright terms: Public domain W3C validator