MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0to3tp Structured version   Unicode version

Theorem fzo0to3tp 11949
Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to3tp  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }

Proof of Theorem fzo0to3tp
StepHypRef Expression
1 3z 10921 . . 3  |-  3  e.  ZZ
2 fzoval 11872 . . 3  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0..^ 3 )  =  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( 0..^ 3 )  =  ( 0 ... ( 3  -  1 ) )
4 3m1e2 10677 . . . 4  |-  ( 3  -  1 )  =  2
5 2cn 10631 . . . . 5  |-  2  e.  CC
65addid2i 9772 . . . 4  |-  ( 0  +  2 )  =  2
74, 6eqtr4i 2453 . . 3  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 0  +  2 )
87oveq2i 6260 . 2  |-  ( 0 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 0 ... (
0  +  2 ) )
9 0z 10899 . . 3  |-  0  e.  ZZ
10 fztp 11803 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
11 eqidd 2429 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  =  0 )
12 0p1e1 10672 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
146a1i 11 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
1511, 13, 14tpeq123d 4037 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1610, 15eqtrd 2462 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
179, 16ax-mp 5 . 2  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
183, 8, 173eqtri 2454 1  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1872   {ctp 3945  (class class class)co 6249   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    - cmin 9811   2c2 10610   3c3 10611   ZZcz 10888   ...cfz 11735  ..^cfzo 11866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867
This theorem is referenced by:  trgcgrg  24502  tgcgr4  24518  3v3e3cycl1  25314  constr3trllem1  25320  constr3trllem2  25321  constr3trllem5  25324
  Copyright terms: Public domain W3C validator