MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Structured version   Unicode version

Theorem fzo0dvdseq 14051
Description: Zero is the only one of the first  A nonnegative integers that is divisible by  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 11835 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  <  A )
2 elfzoelz 11826 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ZZ )
32zred 10990 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  RR )
4 elfzoel2 11825 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  ZZ )
54zred 10990 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  RR )
63, 5ltnled 9749 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
71, 6mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  -.  A  <_  B )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -.  A  <_  B )
94adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
10 elfzonn0 11866 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  NN0 )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN0 )
12 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
13 eldifsn 4157 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( NN0  \  {
0 } )  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
1411, 12, 13sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ( NN0  \  {
0 } ) )
15 dfn2 10829 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
1614, 15syl6eleqr 2556 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN )
17 dvdsle 14043 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B )
)
189, 16, 17syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B ) )
198, 18mtod 177 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -.  A  ||  B )
2019ex 434 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =/=  0  ->  -.  A  ||  B ) )
2120necon4ad 2677 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  ->  B  = 
0 ) )
22 dvds0 14011 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  0 )
234, 22syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  ||  0
)
24 breq2 4460 . . 3  |-  ( B  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  A  ||  0
) )
2523, 24syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =  0  ->  A  ||  B ) )
2621, 25impbid 191 1  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468   {csn 4032   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   0cc0 9509    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885  ..^cfzo 11821    || cdvds 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-dvds 13999
This theorem is referenced by:  fzocongeq  14052
  Copyright terms: Public domain W3C validator