MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznn0sub2 Structured version   Unicode version

Theorem fznn0sub2 11484
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N
) )

Proof of Theorem fznn0sub2
StepHypRef Expression
1 elfzle1 11450 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
2 elfzel2 11447 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
3 elfzelz 11449 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
4 zre 10646 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5 zre 10646 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
6 subge02 9851 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N ) )
74, 5, 6syl2an 474 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N ) )
82, 3, 7syl2anc 656 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
91, 8mpbid 210 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  <_  N )
10 fznn0sub 11483 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
11 nn0uz 10891 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1210, 11syl6eleq 2531 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13 elfz5 11441 . . 3  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( N  -  K
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
1412, 2, 13syl2anc 656 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
159, 14mpbird 232 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    <_ cle 9415    - cmin 9591   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434
This theorem is referenced by:  bccmpl  12081  revcl  12397  revlen  12398  revccat  12402  revrev  12403  revco  12458  fsum0diag2  13246  mertenslem1  13340  cshwshashlem2  14119  taylthlem2  21798  birthdaylem2  22305  basellem3  22379  signstfveq0  26908  uzsubfz0  30130  erclwwlksym0  30403  cshwlemma1  30414  eleclclwwlknlem2  30416
  Copyright terms: Public domain W3C validator