MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznn0sub2 Structured version   Unicode version

Theorem fznn0sub2 11491
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N
) )

Proof of Theorem fznn0sub2
StepHypRef Expression
1 elfzle1 11457 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
2 elfzel2 11454 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
3 elfzelz 11456 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
4 zre 10653 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5 zre 10653 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
6 subge02 9858 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N ) )
74, 5, 6syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N ) )
82, 3, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
91, 8mpbid 210 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  <_  N )
10 fznn0sub 11490 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
11 nn0uz 10898 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1210, 11syl6eleq 2533 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13 elfz5 11448 . . 3  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( N  -  K
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
1412, 2, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
159, 14mpbird 232 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1756   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   RRcr 9284   0cc0 9285    <_ cle 9422    - cmin 9598   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   ...cfz 11440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441
This theorem is referenced by:  bccmpl  12088  revcl  12404  revlen  12405  revccat  12409  revrev  12410  revco  12465  fsum0diag2  13253  mertenslem1  13347  cshwshashlem2  14126  taylthlem2  21842  birthdaylem2  22349  basellem3  22423  signstfveq0  26981  uzsubfz0  30208  erclwwlksym0  30481  cshwlemma1  30492  eleclclwwlknlem2  30494  ply1mulgsumlem2  30848
  Copyright terms: Public domain W3C validator