MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznn0sub Structured version   Unicode version

Theorem fznn0sub 11705
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )

Proof of Theorem fznn0sub
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 11674 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 uznn0sub 11102 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    - cmin 9794   NN0cn0 10784   ZZ>=cuz 11071   ...cfz 11661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662
This theorem is referenced by:  fznn0sub2  11768  bcrpcl  12341  bcm1k  12348  bcp1n  12349  bcval5  12351  bcpasc  12354  permnn  12359  swrdlen  12600  swrd0swrd  12636  binomlem  13593  binom1p  13595  mertenslem1  13645  mertens  13647  efaddlem  13679  pcbc  14267  srgbinomlem3  16974  srgbinomlem4  16975  srgbinomlem  16976  coe1mul2  18074  coe1tmmul2  18081  coe1tmmul  18082  cply1mul  18099  lply1binomsc  18113  decpmatmul  19033  pm2mpmhmlem2  19080  chpscmatgsumbin  19105  chpscmatgsummon  19106  coe1mul3  22228  plymullem1  22339  plymullem  22341  coemullem  22374  coemulhi  22378  coemulc  22379  vieta1lem2  22434  aareccl  22449  aalioulem1  22455  dvntaylp  22493  dvntaylp0  22494  birthdaylem2  23003  basellem3  23077  plymulx0  28130  binomfallfaclem1  28724  binomfallfaclem2  28725  fallfacval4  28728  bcfallfac  28729  bpolycl  29377  bpolysum  29378  bpolydiflem  29379  jm2.22  30530  jm2.23  30531  ply1mulgsum  31938
  Copyright terms: Public domain W3C validator