MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznn0sub Structured version   Unicode version

Theorem fznn0sub 11725
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )

Proof of Theorem fznn0sub
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 11694 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 uznn0sub 11121 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    - cmin 9810   NN0cn0 10801   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682
This theorem is referenced by:  fznn0sub2  11789  bcrpcl  12365  bcm1k  12372  bcp1n  12373  bcval5  12375  bcpasc  12378  permnn  12383  swrdlen  12629  swrd0swrd  12665  binomlem  13620  binom1p  13622  mertenslem1  13672  mertens  13674  efaddlem  13706  pcbc  14296  srgbinomlem3  17067  srgbinomlem4  17068  srgbinomlem  17069  coe1mul2  18184  coe1tmmul2  18191  coe1tmmul  18192  cply1mul  18209  lply1binomsc  18223  decpmatmul  19146  pm2mpmhmlem2  19193  chpscmatgsumbin  19218  chpscmatgsummon  19219  coe1mul3  22373  plymullem1  22484  plymullem  22486  coemullem  22519  coemulhi  22523  coemulc  22524  vieta1lem2  22579  aareccl  22594  aalioulem1  22600  dvntaylp  22638  dvntaylp0  22639  birthdaylem2  23154  basellem3  23228  plymulx0  28377  binomfallfaclem1  29136  binomfallfaclem2  29137  fallfacval4  29140  bcfallfac  29141  bpolycl  29789  bpolysum  29790  bpolydiflem  29791  jm2.22  30912  jm2.23  30913  ply1mulgsumlem2  32722  ply1mulgsum  32725
  Copyright terms: Public domain W3C validator