MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzn0 Structured version   Unicode version

Theorem fzn0 11704
Description: Properties of a finite interval of integers which is nonempty. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzn0  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )

Proof of Theorem fzn0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3776 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( M ... N
) )
2 elfzuz2 11695 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
32exlimiv 1707 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
41, 3sylbi 195 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 eluzfz1 11697 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
6 ne0i 3773 . . 3  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =/=  (/) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =/=  (/) )
84, 7impbii 188 1  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184   E.wex 1597    e. wcel 1802    =/= wne 2636   (/)c0 3767   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   ZZ>=cuz 11085   ...cfz 11676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-neg 9808  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677
This theorem is referenced by:  fzn  11706  fzfi  12056  fseqsupcl  12061  fsumrev2  13571  gsumval3OLD  16777  gsumval3  16780  pmatcollpw3fi  19153  iscmet3  21598  dchrisum0flblem1  23558  pntrsumbnd2  23617  wlkn0  24392  stoweidlem26  31693
  Copyright terms: Public domain W3C validator