MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzn0 Structured version   Unicode version

Theorem fzn0 11585
Description: Properties of a finite interval of integers which is nonempty. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzn0  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )

Proof of Theorem fzn0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3757 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( M ... N
) )
2 elfzuz2 11577 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
32exlimiv 1689 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
41, 3sylbi 195 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 eluzfz1 11579 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
6 ne0i 3754 . . 3  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =/=  (/) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =/=  (/) )
84, 7impbii 188 1  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2648   (/)c0 3748   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ZZ>=cuz 10976   ...cfz 11558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-neg 9713  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559
This theorem is referenced by:  fzn  11587  fzfi  11915  fseqsupcl  11920  fsumrev2  13371  gsumval3OLD  16507  gsumval3  16510  iscmet3  20946  dchrisum0flblem1  22900  pntrsumbnd2  22959  stoweidlem26  29992  wlkn0  30450  pmatcollpw3fi  31295
  Copyright terms: Public domain W3C validator