MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzn Structured version   Unicode version

Theorem fzn 11587
Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by NM, 22-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzn  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )

Proof of Theorem fzn
StepHypRef Expression
1 fzn0 11585 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
2 eluz 10989 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
31, 2syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  M  <_  N ) )
4 zre 10765 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10765 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 lenlt 9568 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
74, 5, 6syl2an 477 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
83, 7bitr2d 254 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  N  < 
M  <->  ( M ... N )  =/=  (/) ) )
98necon4bbid 2705 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   (/)c0 3748   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9396    < clt 9533    <_ cle 9534   ZZcz 10761   ZZ>=cuz 10976   ...cfz 11558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-neg 9713  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559
This theorem is referenced by:  fz1n  11589  fz10  11591  fzsuc2  11635  fzon  11692  isumsplit  13425  arisum2  13445  prmreclem4  14102  prmreclem5  14103  vdwap0  14159  abelthlem6  22044  log2ublem3  22486  ppi1  22645  cht1  22646  ppiublem2  22685  lgsdir2lem3  22807  fz0n  27556  risefall0lem  27696  fdc  28812  mettrifi  28824  wlkv0  30462
  Copyright terms: Public domain W3C validator