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Theorem fzmul 29825
Description: Membership of a product in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzmul  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )

Proof of Theorem fzmul
StepHypRef Expression
1 elfz1 11668 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
213adant3 1011 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <->  ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N
) ) )
3 zre 10859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
4 zre 10859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
5 nnre 10534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
6 nngt0 10556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
75, 6jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )
8 lemul2 10386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( M  <_  J  <->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J ) ) )
93, 4, 7, 8syl3an 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  <->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J )
) )
1093expa 1191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J 
<->  ( K  x.  M
)  <_  ( K  x.  J ) ) )
1110biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  ->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J )
) )
1211adantllr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  ->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
) ) )
13 zre 10859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 lemul2 10386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( J  <_  N  <->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N ) ) )
154, 13, 7, 14syl3an 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  <->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) )
16153expa 1191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N 
<->  ( K  x.  J
)  <_  ( K  x.  N ) ) )
1716ancom1s 803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N 
<->  ( K  x.  J
)  <_  ( K  x.  N ) ) )
1817biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) )
1918adantlll 717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N
) ) )
2012, 19anim12d 563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
21 nnz 10877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
22 zmulcl 10902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  M
)  e.  ZZ )
2322ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( K  x.  M )  e.  ZZ ) )
24 zmulcl 10902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  x.  N )  e.  ZZ ) )
26 zmulcl 10902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  J
)  e.  ZZ )
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  x.  J )  e.  ZZ ) )
2823, 25, 273anim123d 1301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  M )  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
29 elfz 11669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  x.  J
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  M
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
30293coml 1198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  x.  M
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
3128, 30syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3221, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3332com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN  ->  ( ( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
34333expa 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3534imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
3620, 35sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) )
3736an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) )
3837exp4b 607 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( M  <_  J  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) ) ) )
39383impd 1205 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )
40393impa 1186 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  -> 
( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) ) ) )
412, 40sylbid 215 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    e. wcel 1762   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483    x. cmul 9488    < clt 9619    <_ cle 9620   NNcn 10527   ZZcz 10855   ...cfz 11663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-fz 11664
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