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Theorem fzmul 30399
Description: Membership of a product in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzmul  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )

Proof of Theorem fzmul
StepHypRef Expression
1 elfz1 11598 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
213adant3 1014 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <->  ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N
) ) )
3 zre 10785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
4 zre 10785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
5 nnre 10459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
6 nngt0 10481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
75, 6jca 530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )
8 lemul2 10312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( M  <_  J  <->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J ) ) )
93, 4, 7, 8syl3an 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  <->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J )
) )
1093expa 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J 
<->  ( K  x.  M
)  <_  ( K  x.  J ) ) )
1110biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  ->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J )
) )
1211adantllr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  ->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
) ) )
13 zre 10785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 lemul2 10312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( J  <_  N  <->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N ) ) )
154, 13, 7, 14syl3an 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  <->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) )
16153expa 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N 
<->  ( K  x.  J
)  <_  ( K  x.  N ) ) )
1716ancom1s 803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N 
<->  ( K  x.  J
)  <_  ( K  x.  N ) ) )
1817biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) )
1918adantlll 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N
) ) )
2012, 19anim12d 561 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
21 nnz 10803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
22 zmulcl 10829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  M
)  e.  ZZ )
2322ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( K  x.  M )  e.  ZZ ) )
24 zmulcl 10829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )
2524ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  x.  N )  e.  ZZ ) )
26 zmulcl 10829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  J
)  e.  ZZ )
2726ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  x.  J )  e.  ZZ ) )
2823, 25, 273anim123d 1304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  M )  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
29 elfz 11599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  x.  J
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  M
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
30293coml 1201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  x.  M
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
3128, 30syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3221, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3332com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN  ->  ( ( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
34333expa 1194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3534imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
3620, 35sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) )
3736an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) )
3837exp4b 605 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( M  <_  J  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) ) ) )
39383impd 1208 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )
40393impa 1189 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  -> 
( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) ) ) )
412, 40sylbid 215 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1826   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540   NNcn 10452   ZZcz 10781   ...cfz 11593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-fz 11594
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