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Theorem fzmaxdif 35843
Description: Bound on the difference between two integers constrained to two possibly overlapping finite ranges. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzmaxdif  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( abs `  ( A  -  D ) )  <_ 
( F  -  B
) )

Proof of Theorem fzmaxdif
StepHypRef Expression
1 simp2r 1036 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  ( E ... F
) )
2 elfzelz 11807 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  D  e.  ZZ )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  ZZ )
43zred 11047 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  RR )
5 simp2l 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  ZZ )
65zred 11047 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  RR )
7 simp1r 1034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  ( B ... C
) )
8 elfzel1 11806 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  B  e.  ZZ )
97, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  ZZ )
109zred 11047 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  RR )
116, 10resubcld 10054 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  B )  e.  RR )
124, 11resubcld 10054 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  e.  RR )
13 elfzelz 11807 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  A  e.  ZZ )
147, 13syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  ZZ )
1514zred 11047 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  RR )
16 elfzle2 11810 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  D  <_  F )
171, 16syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  <_  F )
184, 6, 11, 17lesub1dd 10236 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_ 
( F  -  ( F  -  B )
) )
196recnd 9674 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  CC )
2010recnd 9674 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  CC )
2119, 20nncand 9996 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  ( F  -  B ) )  =  B )
2218, 21breqtrd 4430 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  B )
23 elfzle1 11809 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  B  <_  A )
247, 23syl 17 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  <_  A )
2512, 10, 15, 22, 24letrd 9797 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  A )
26 simp1l 1033 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  e.  ZZ )
2726zred 11047 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  e.  RR )
284, 11readdcld 9675 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  +  ( F  -  B ) )  e.  RR )
29 elfzle2 11810 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  A  <_  C )
307, 29syl 17 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  <_  C )
3127, 4resubcld 10054 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  e.  RR )
32 elfzel1 11806 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  E  e.  ZZ )
331, 32syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  e.  ZZ )
3433zred 11047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  e.  RR )
3527, 34resubcld 10054 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  E )  e.  RR )
36 elfzle1 11809 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  E  <_  D )
371, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  <_  D )
3834, 4, 27, 37lesub2dd 10237 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  <_  ( C  -  E
) )
39 simp3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )
4031, 35, 11, 38, 39letrd 9797 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  <_  ( F  -  B
) )
4127, 4, 11lesubaddd 10217 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( C  -  D
)  <_  ( F  -  B )  <->  C  <_  ( ( F  -  B
)  +  D ) ) )
4240, 41mpbid 214 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  <_  ( ( F  -  B )  +  D
) )
4311recnd 9674 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  B )  e.  CC )
444recnd 9674 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  CC )
4543, 44addcomd 9840 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( F  -  B
)  +  D )  =  ( D  +  ( F  -  B
) ) )
4642, 45breqtrd 4430 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) )
4715, 27, 28, 30, 46letrd 9797 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) )
4815, 4, 11absdifled 13508 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( abs `  ( A  -  D )
)  <_  ( F  -  B )  <->  ( ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  A  /\  A  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) ) ) )
4925, 47, 48mpbir2and 934 1  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( abs `  ( A  -  D ) )  <_ 
( F  -  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    e. wcel 1889   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    + caddc 9547    <_ cle 9681    - cmin 9865   ZZcz 10944   ...cfz 11791   abscabs 13309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311
This theorem is referenced by:  acongeq  35845
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