MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzm1ndvds Structured version   Unicode version

Theorem fzm1ndvds 13707
Description: No number between  1 and  M  -  1 divides  M. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzm1ndvds  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  -.  M  ||  N
)

Proof of Theorem fzm1ndvds
StepHypRef Expression
1 elfzle2 11576 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  N  <_  ( M  -  1 ) )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  <_  ( M  -  1 ) )
3 elfzelz 11574 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
43adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
5 nnz 10783 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
7 zltlem1 10812 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  N  <_  ( M  - 
1 ) ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  ( N  < 
M  <->  N  <_  ( M  -  1 ) ) )
92, 8mpbird 232 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  <  M
)
10 elfznn 11599 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  N  e.  NN )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
1211nnred 10452 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
13 nnre 10444 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
1512, 14ltnled 9636 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  ( N  < 
M  <->  -.  M  <_  N ) )
169, 15mpbid 210 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  -.  M  <_  N )
17 dvdsle 13700 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)
186, 11, 17syl2anc 661 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N
) )
1916, 18mtod 177 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  -.  M  ||  N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RRcr 9396   1c1 9398    < clt 9533    <_ cle 9534    - cmin 9710   NNcn 10437   ZZcz 10761   ...cfz 11558    || cdivides 13657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-dvds 13658
This theorem is referenced by:  prmdivdiv  13984  reumodprminv  13994  wilthlem1  22549  wilthlem2  22550  wilthlem3  22551  lgseisenlem1  22831  lgseisenlem2  22832  lgseisenlem3  22833  lgsquadlem3  22838
  Copyright terms: Public domain W3C validator