MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzm1ndvds Structured version   Unicode version

Theorem fzm1ndvds 14125
Description: No number between  1 and  M  -  1 divides  M. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzm1ndvds  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  -.  M  ||  N
)

Proof of Theorem fzm1ndvds
StepHypRef Expression
1 elfzle2 11693 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  N  <_  ( M  -  1 ) )
21adantl 464 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  <_  ( M  -  1 ) )
3 elfzelz 11691 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
43adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
5 nnz 10882 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
65adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
7 zltlem1 10912 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  N  <_  ( M  - 
1 ) ) )
84, 6, 7syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  ( N  < 
M  <->  N  <_  ( M  -  1 ) ) )
92, 8mpbird 232 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  <  M
)
10 elfznn 11717 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  N  e.  NN )
1110adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
1211nnred 10546 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
13 nnre 10538 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
1413adantr 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
1512, 14ltnled 9721 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  ( N  < 
M  <->  -.  M  <_  N ) )
169, 15mpbid 210 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  -.  M  <_  N )
17 dvdsle 14118 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)
186, 11, 17syl2anc 659 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N
) )
1916, 18mtod 177 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  ->  -.  M  ||  N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   ZZcz 10860   ...cfz 11675    || cdvds 14073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-dvds 14074
This theorem is referenced by:  prmdivdiv  14404  reumodprminv  14416  wilthlem1  23543  wilthlem2  23544  wilthlem3  23545  lgseisenlem1  23825  lgseisenlem2  23826  lgseisenlem3  23827  lgsquadlem3  23832  etransclem44  32303
  Copyright terms: Public domain W3C validator