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Theorem fzm1 11539
Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzm1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )

Proof of Theorem fzm1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10865 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 eluzelz 10869 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 11441 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
5 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  K  e.  ZZ )
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  ZZ ) )
7 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  M  <_  K )
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  M  <_  K ) )
9 zre 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
10 eluzelre 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
11 ltlen 9475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  =/=  K ) ) )
129, 10, 11syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  =/= 
K ) ) )
13 nesym 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  =/=  K  <->  -.  K  =  N )
1413anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  <_  N  /\  N  =/=  K )  <->  ( K  <_  N  /\  -.  K  =  N ) )
15 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  <_  N  /\  -.  K  =  N
)  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )
1614, 15bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  <_  N  /\  N  =/=  K )  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )
1712, 16syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) ) )
1817biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <  N )
1918an4s 822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <  N )
20 zltlem1 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
212, 20sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2322ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2423ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  -> 
( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2519, 24mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <_  ( N  - 
1 ) )
26253adantr2 1148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
2726ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
286, 8, 273jcad 1169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
2928ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  - 
1 ) ) ) ) )
30 1z 10675 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
31 zsubcl 10686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
322, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
33 elfz1 11441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
341, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
3534biimprd 223 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_ 
( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) )
3629, 35syl6d 69 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) ) )
3736com23 78 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) ) )
384, 37sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1
) ) ) ) )
3938imp 429 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
4039orrd 378 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( K  =  N  \/  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) )
4140orcomd 388 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) )
4241ex 434 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
43 fzssp1 11500 . . . . 5  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
442zcnd 10747 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  CC )
45 ax-1cn 9339 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
46 npcan 9618 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4744, 45, 46sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
4847oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
4943, 48syl5sseq 3403 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
5049sseld 3354 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) ) )
51 eluzfz2 11458 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
52 eleq1 2502 . . . 4  |-  ( K  =  N  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
5351, 52syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  =  N  ->  K  e.  ( M ... N
) ) )
5450, 53jaod 380 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N )  ->  K  e.  ( M ... N
) ) )
5542, 54impbid 191 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   RRcr 9280   1c1 9282    + caddc 9284    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860   ...cfz 11436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437
This theorem is referenced by:  bcpasc  12096  phibndlem  13844  lgsdir2lem2  22662  acongeq  29324  jm2.26lem3  29348
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