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Theorem fzm1 11082
Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzm1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )

Proof of Theorem fzm1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10449 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 eluzelz 10452 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 11004 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
5 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  K  e.  ZZ )
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  ZZ ) )
7 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  M  <_  K )
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  M  <_  K ) )
9 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
10 eluzelre 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
11 ltlen 9131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  =/=  K ) ) )
129, 10, 11syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  =/= 
K ) ) )
13 necom 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =/=  K  <->  K  =/=  N )
14 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  =/=  N  <->  -.  K  =  N )
1513, 14bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  =/=  K  <->  -.  K  =  N )
1615anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  <_  N  /\  N  =/=  K )  <->  ( K  <_  N  /\  -.  K  =  N ) )
17 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  <_  N  /\  -.  K  =  N
)  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )
1816, 17bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  <_  N  /\  N  =/=  K )  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )
1912, 18syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) ) )
2019biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <  N )
2120an4s 800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <  N )
22 zltlem1 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
232, 22sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
2423biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2524ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2625ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  -> 
( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2721, 26mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <_  ( N  - 
1 ) )
28273adantr2 1117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
2928ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
306, 8, 293jcad 1135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
3130ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  - 
1 ) ) ) ) )
32 1z 10267 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
33 zsubcl 10275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
342, 32, 33sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
35 elfz1 11004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
361, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
3736biimprd 215 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_ 
( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) )
3831, 37syl6d 66 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) ) )
3938com23 74 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) ) )
404, 39sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1
) ) ) ) )
4140imp 419 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
4241orrd 368 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( K  =  N  \/  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) )
4342orcomd 378 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) )
4443ex 424 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
45 fzssp1 11051 . . . . 5  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
462zcnd 10332 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  CC )
47 ax-1cn 9004 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
48 npcan 9270 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4946, 47, 48sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
5049oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
5145, 50syl5sseq 3356 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
5251sseld 3307 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) ) )
53 eluzfz2 11021 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
54 eleq1 2464 . . . 4  |-  ( K  =  N  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
5553, 54syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  =  N  ->  K  e.  ( M ... N
) ) )
5652, 55jaod 370 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N )  ->  K  e.  ( M ... N
) ) )
5744, 56impbid 184 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  bcpasc  11567  phibndlem  13114  lgsdir2lem2  21061  acongeq  26938  jm2.26lem3  26962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
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