Theorem fzm1 15796

Description: Choices for an element of a finite interval of integers.

Assertion

Ref	Expression
fzm1	|- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...N) <-> (K e. (M...(N - 1)) \/ K = N)))

Proof of Theorem fzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 7593	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>=` M) -> M e. ZZ)
2		eluzelz 7592	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. ZZ)
3		elfz1 7640	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (M...N) <-> (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N)))
4	1, 2, 3	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...N) <-> (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N)))
5		simp1 876	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) -> K e. ZZ)
6	5	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ -. K = N) -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) -> K e. ZZ))
7		simp2 877	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) -> M <_ K)
8	7	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ -. K = N) -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) -> M <_ K))
9		ltlen 6692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((K e. RR /\ N e. RR) -> (K < N <-> (K <_ N /\ N =/= K)))
10		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
11		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
12	2, 11	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. RR)
13	9, 10, 12	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((K e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)) -> (K < N <-> (K <_ N /\ N =/= K)))
14	13	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. ZZ) -> (K < N <-> (K <_ N /\ N =/= K)))
15		necom 2094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (N =/= K <-> K =/= N)
16		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (K =/= N <-> -. K = N)
17	15, 16	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (N =/= K <-> -. K = N)
18	17	anbi2i 538	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((K <_ N /\ N =/= K) <-> (K <_ N /\ -. K = N))
19		ancom 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((K <_ N /\ -. K = N) <-> (-. K = N /\ K <_ N))
20	18, 19	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((K <_ N /\ N =/= K) <-> (-. K = N /\ K <_ N))
21	14, 20	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. ZZ) -> (K < N <-> (-. K = N /\ K <_ N)))
22	21	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. ZZ) /\ (-. K = N /\ K <_ N)) -> K < N)
23	22	an4s 566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ -. K = N) /\ (K e. ZZ /\ K <_ N)) -> K < N)
24		zltlem1 7393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K < N <-> K <_ (N - 1)))
25	24, 2	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((K e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)) -> (K < N <-> K <_ (N - 1)))
26	25	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)) -> (K < N -> K <_ (N - 1)))
27	26	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. ZZ) -> (K < N -> K <_ (N - 1)))
28	27	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ -. K = N) /\ (K e. ZZ /\ K <_ N)) -> (K < N -> K <_ (N - 1)))
29	23, 28	mpd 29	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ -. K = N) /\ (K e. ZZ /\ K <_ N)) -> K <_ (N - 1))
30	29	3adantr2 1036	. . . . . . . . . . . 12 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ -. K = N) /\ (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N)) -> K <_ (N - 1))
31	30	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ -. K = N) -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) -> K <_ (N - 1)))
32	6, 8, 31	3jcad 1051	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ -. K = N) -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) -> (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ (N - 1))))
33	32	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (-. K = N -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) -> (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ (N - 1)))))
34		zsubcl 7377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. ZZ /\ 1 e. ZZ) -> (N - 1) e. ZZ)
35		1z 7368	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
36	34, 2, 35	sylancl 525	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N - 1) e. ZZ)
37		elfz1 7640	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. ZZ /\ (N - 1) e. ZZ) -> (K e. (M...(N - 1)) <-> (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ (N - 1))))
38	1, 36, 37	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...(N - 1)) <-> (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ (N - 1))))
39	38	biimprd 171	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ (N - 1)) -> K e. (M...(N - 1))))
40	33, 39	syl6d 67	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (-. K = N -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) -> K e. (M...(N - 1)))))
41	40	com23 36	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) -> (-. K = N -> K e. (M...(N - 1)))))
42	4, 41	sylbid 220	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...N) -> (-. K = N -> K e. (M...(N - 1)))))
43	42	imp 377	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...N)) -> (-. K = N -> K e. (M...(N - 1))))
44	43	orrd 250	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...N)) -> (K = N \/ K e. (M...(N - 1))))
45		orcom 266	. . . 4 |- ((K = N \/ K e. (M...(N - 1))) <-> (K e. (M...(N - 1)) \/ K = N))
46	44, 45	sylib 215	. . 3 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...N)) -> (K e. (M...(N - 1)) \/ K = N))
47	46	ex 402	. 2 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...N) -> (K e. (M...(N - 1)) \/ K = N)))
48		fzssp1 7679	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ (N - 1) e. ZZ) -> (M...(N - 1)) C_ (M...((N - 1) + 1)))
49	1, 36, 48	syl11anc 524	. . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (M...(N - 1)) C_ (M...((N - 1) + 1)))
50		npcan 6559	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ 1 e. CC) -> ((N - 1) + 1) = N)
51		zcn 7349	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
52	2, 51	syl 12	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. CC)
53		ax1cn 6422	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
54	50, 52, 53	sylancl 525	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((N - 1) + 1) = N)
55	54	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (M...((N - 1) + 1)) = (M...N))
56	49, 55	sseqtrd 2653	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (M...(N - 1)) C_ (M...N))
57	56	sseld 2619	. . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...(N - 1)) -> K e. (M...N)))
58		eleq1 1957	. . . 4 |- (K = N -> (K e. (M...N) <-> N e. (M...N)))
59		eluzfz2 7659	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. (M...N))
60	58, 59	syl5cbir 228	. . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K = N -> K e. (M...N)))
61	57, 60	jaod 469	. 2 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((K e. (M...(N - 1)) \/ K = N) -> K e. (M...N)))
62	47, 61	impbid 574	1 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...N) <-> (K e. (M...(N - 1)) \/ K = N)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637

This theorem is referenced by:  fsumlt1 15831

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638

Copyright terms: Public domain