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Theorem fzisoeu 37606
 Description: A finite ordered set has a unique order isomorphism to a generic finite sequence of integers. This theorem generalizes fz1iso 12666 for the base index and also states the uniqueness condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fzisoeu.h
fzisoeu.or
fzisoeu.m
fzisoeu.4
Assertion
Ref Expression
fzisoeu
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fzisoeu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssz 11827 . . . . . . . . 9
2 zssre 10968 . . . . . . . . 9
31, 2sstri 3427 . . . . . . . 8
4 ltso 9732 . . . . . . . 8
5 soss 4778 . . . . . . . 8
63, 4, 5mp2 9 . . . . . . 7
7 fzfi 12223 . . . . . . 7
8 fz1iso 12666 . . . . . . 7
96, 7, 8mp2an 686 . . . . . 6
10 fzisoeu.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12 hash0 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1311, 12syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1413oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1510, 14syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
1716adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
18 fzisoeu.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1918zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2119, 20subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221addid2d 9852 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
2418zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524ltm1d 10561 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2718, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28 fzn 11841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2918, 27, 28syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3025, 29mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15
3123, 30eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
33 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
3617, 32, 353eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12
3736fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
3820, 19pncan3d 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3938eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44 fzisoeu.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
46 hashnncl 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4843, 47mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5027zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5248nnge1d 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5341, 49, 51, 52leadd1dd 10248 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453, 10syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . 15
5540, 54eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . 14
5618adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 hashcl 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58 nn0z 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5944, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059, 27zaddcld 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6110, 60syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 eluz 11196 . . . . . . . . . . . . . . 15
6456, 62, 63syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
6555, 64mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13
66 hashfz 12640 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12
6810oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6944, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7069nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7170, 21, 19addsubassd 10025 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7268, 71syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15
7319, 20negsubd 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7473eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7574oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7620negcld 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7719, 76pncan2d 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7875, 77eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7978oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
8072, 79eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14
8180oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
8281adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
8370, 20negsubd 10011 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
8570, 20npcand 10009 . . . . . . . . . . . . . 14
8684, 85eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13
8786adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
8867, 82, 873eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11
8937, 88pm2.61dan 808 . . . . . . . . . 10
9089oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
91 isoeq4 6231 . . . . . . . . 9
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8
9392biimpd 212 . . . . . . 7
9493eximdv 1772 . . . . . 6
959, 94mpi 20 . . . . 5
96 fzisoeu.or . . . . . 6
97 fz1iso 12666 . . . . . 6
9896, 44, 97syl2anc 673 . . . . 5
99 eeanv 2093 . . . . 5
10095, 98, 99sylanbrc 677 . . . 4
101 isocnv 6239 . . . . . . . 8
102101ad2antrl 742 . . . . . . 7
103 simprr 774 . . . . . . 7
104 isotr 6245 . . . . . . 7
105102, 103, 104syl2anc 673 . . . . . 6
106105ex 441 . . . . 5
1071062eximdv 1774 . . . 4
108100, 107mpd 15 . . 3
109 vex 3034 . . . . . . 7
110 vex 3034 . . . . . . . 8
111110cnvex 6759 . . . . . . 7
112109, 111coex 6764 . . . . . 6
113 isoeq1 6228 . . . . . 6
114112, 113spcev 3127 . . . . 5
115114a1i 11 . . . 4
116115exlimdvv 1788 . . 3
117108, 116mpd 15 . 2
118 ltwefz 12215 . . 3
119 wemoiso 6797 . . 3
120118, 119mp1i 13 . 2
121 eu5 2345 . 2
122117, 120, 121sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  weu 2319  wmo 2320   wne 2641   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   wor 4759   wwe 4797  ccnv 4838   ccom 4843  cfv 5589   wiso 5590  (class class class)co 6308  cfn 7587  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  chash 12553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554 This theorem is referenced by:  fourierdlem36  38118
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