Theorem fzind 13610

Description: Induction on the integers from M to N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind.1	|- (x = M -> (ph <-> ps))
fzind.2	|- (x = y -> (ph <-> ch))
fzind.3	|- (x = (y + 1) -> (ph <-> th))
fzind.4	|- (x = K -> (ph <-> ta))
fzind.5	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ps)
fzind.6	|- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N)) -> (ch -> th))

Assertion

Ref	Expression
fzind	|- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N)) -> ta)

Distinct variable groups:   x,K   x,M,y   x,N,y   ch,x   ph,y   ps,x   ta,x   th,x

Proof of Theorem fzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = M -> (x <_ N <-> M <_ N))
2	1	anbi2d 678	. . . . . . . . . . 11 |- (x = M -> ((N e. ZZ /\ x <_ N) <-> (N e. ZZ /\ M <_ N)))
3		fzind.1	. . . . . . . . . . 11 |- (x = M -> (ph <-> ps))
4	2, 3	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (x = M -> (((N e. ZZ /\ x <_ N) -> ph) <-> ((N e. ZZ /\ M <_ N) -> ps)))
5		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = y -> (x <_ N <-> y <_ N))
6	5	anbi2d 678	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> ((N e. ZZ /\ x <_ N) <-> (N e. ZZ /\ y <_ N)))
7		fzind.2	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> (ph <-> ch))
8	6, 7	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (((N e. ZZ /\ x <_ N) -> ph) <-> ((N e. ZZ /\ y <_ N) -> ch)))
9		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (y + 1) -> (x <_ N <-> (y + 1) <_ N))
10	9	anbi2d 678	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (y + 1) -> ((N e. ZZ /\ x <_ N) <-> (N e. ZZ /\ (y + 1) <_ N)))
11		fzind.3	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (y + 1) -> (ph <-> th))
12	10, 11	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (x = (y + 1) -> (((N e. ZZ /\ x <_ N) -> ph) <-> ((N e. ZZ /\ (y + 1) <_ N) -> th)))
13		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = K -> (x <_ N <-> K <_ N))
14	13	anbi2d 678	. . . . . . . . . . 11 |- (x = K -> ((N e. ZZ /\ x <_ N) <-> (N e. ZZ /\ K <_ N)))
15		fzind.4	. . . . . . . . . . 11 |- (x = K -> (ph <-> ta))
16	14, 15	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (x = K -> (((N e. ZZ /\ x <_ N) -> ph) <-> ((N e. ZZ /\ K <_ N) -> ta)))
17		fzind.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ps)
18	17	3expb 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. ZZ /\ (N e. ZZ /\ M <_ N)) -> ps)
19	18	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((N e. ZZ /\ M <_ N) -> ps))
20		p1le 6995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. RR /\ N e. RR /\ (y + 1) <_ N) -> y <_ N)
21	20	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. RR /\ N e. RR) -> ((y + 1) <_ N -> y <_ N))
22		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. ZZ -> y e. RR)
23		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
24	21, 22, 23	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((y + 1) <_ N -> y <_ N))
25	24	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. ZZ -> (N e. ZZ -> ((y + 1) <_ N -> y <_ N)))
26	25	imdistand 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. ZZ -> ((N e. ZZ /\ (y + 1) <_ N) -> (N e. ZZ /\ y <_ N)))
27	26	imim1d 33	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. ZZ -> (((N e. ZZ /\ y <_ N) -> ch) -> ((N e. ZZ /\ (y + 1) <_ N) -> ch)))
28	27	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y) -> (((N e. ZZ /\ y <_ N) -> ch) -> ((N e. ZZ /\ (y + 1) <_ N) -> ch)))
29		zltp1le 7390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (y < N <-> (y + 1) <_ N))
30	29	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((y e. ZZ /\ M <_ y) /\ N e. ZZ) -> (y < N <-> (y + 1) <_ N))
31	30	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (N e. ZZ -> ((y e. ZZ /\ M <_ y) -> (y < N <-> (y + 1) <_ N)))
32	31	pm5.32d 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (N e. ZZ -> (((y e. ZZ /\ M <_ y) /\ y < N) <-> ((y e. ZZ /\ M <_ y) /\ (y + 1) <_ N)))
33	32	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (((y e. ZZ /\ M <_ y) /\ y < N) <-> ((y e. ZZ /\ M <_ y) /\ (y + 1) <_ N)))
34		fzind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N)) -> (ch -> th))
35	34	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N) -> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (ch -> th)))
36	35	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((y e. ZZ /\ M <_ y) /\ y < N) -> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (ch -> th)))
37	36	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (((y e. ZZ /\ M <_ y) /\ y < N) -> (ch -> th)))
38	33, 37	sylbird 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (((y e. ZZ /\ M <_ y) /\ (y + 1) <_ N) -> (ch -> th)))
39	38	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (M e. ZZ -> (N e. ZZ -> (((y e. ZZ /\ M <_ y) /\ (y + 1) <_ N) -> (ch -> th))))
40	39	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (M e. ZZ -> (((y e. ZZ /\ M <_ y) /\ (y + 1) <_ N) -> (N e. ZZ -> (ch -> th))))
41	40	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (M e. ZZ -> ((y e. ZZ /\ M <_ y) -> ((y + 1) <_ N -> (N e. ZZ -> (ch -> th)))))
42	41	3impib 1065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y) -> ((y + 1) <_ N -> (N e. ZZ -> (ch -> th))))
43	42	com23 36	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y) -> (N e. ZZ -> ((y + 1) <_ N -> (ch -> th))))
44	43	imp3a 388	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y) -> ((N e. ZZ /\ (y + 1) <_ N) -> (ch -> th)))
45	44	a2d 16	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y) -> (((N e. ZZ /\ (y + 1) <_ N) -> ch) -> ((N e. ZZ /\ (y + 1) <_ N) -> th)))
46	28, 45	syld 30	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y) -> (((N e. ZZ /\ y <_ N) -> ch) -> ((N e. ZZ /\ (y + 1) <_ N) -> th)))
47	4, 8, 12, 16, 19, 46	uzind 7417	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K) -> ((N e. ZZ /\ K <_ N) -> ta))
48	47	exp3a 405	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K) -> (N e. ZZ -> (K <_ N -> ta)))
49	48	com23 36	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K) -> (K <_ N -> (N e. ZZ -> ta)))
50	49	3expb 1068	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ (K e. ZZ /\ M <_ K)) -> (K <_ N -> (N e. ZZ -> ta)))
51	50	expcom 403	. . . . 5 |- ((K e. ZZ /\ M <_ K) -> (M e. ZZ -> (K <_ N -> (N e. ZZ -> ta))))
52	51	com23 36	. . . 4 |- ((K e. ZZ /\ M <_ K) -> (K <_ N -> (M e. ZZ -> (N e. ZZ -> ta))))
53	52	3impia 1064	. . 3 |- ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) -> (M e. ZZ -> (N e. ZZ -> ta)))
54	53	imp3a 388	. 2 |- ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) -> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ta))
55	54	impcom 378	1 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N)) -> ta)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653

This theorem is referenced by:  fnn0ind 13611  fseq1cl 13619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

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