MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzind Structured version   Unicode version

Theorem fzind 10958
Description: Induction on the integers from  M to  N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind.1  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fzind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
fzind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fzind.4  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
fzind.5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps )
fzind.6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
fzind  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, K    x, M, y    x, N, y    ch, x    ph, y    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    K( y)

Proof of Theorem fzind
StepHypRef Expression
1 breq1 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  (
x  <_  N  <->  M  <_  N ) )
21anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
3 fzind.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
42, 3imbi12d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps ) ) )
5 breq1 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  N  <->  y  <_  N ) )
65anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N ) ) )
7 fzind.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
86, 7imbi12d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch ) ) )
9 breq1 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  <_  N  <->  ( y  +  1 )  <_  N ) )
109anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )
) )
11 fzind.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
1210, 11imbi12d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  th ) ) )
13 breq1 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  K  ->  (
x  <_  N  <->  K  <_  N ) )
1413anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  K  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
15 fzind.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
1614, 15imbi12d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  <_  N )  ->  ta ) ) )
17 fzind.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps )
18173expib 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps ) )
19 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
20 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
21 p1le 10381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
y  <_  N )
22213expia 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  y  <_  N )
)
2319, 20, 22syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  y  <_  N )
)
2423imdistanda 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )
) )
2524imim1d 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  ch ) ) )
26253ad2ant2 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  ch ) ) )
27 zltp1le 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( y  <  N  <->  ( y  +  1 )  <_  N ) )
2827adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( y  < 
N  <->  ( y  +  1 )  <_  N
) )
2928expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  ( y  <  N  <->  ( y  +  1 )  <_  N ) ) )
3029pm5.32d 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y )  /\  y  <  N )  <->  ( (
y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  ( y  +  1 )  <_  N )
) )
3130adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  y  <  N )  <->  ( (
y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  ( y  +  1 )  <_  N )
) )
32 fzind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
3332expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
34333expa 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  y  <  N )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
3534com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
3631, 35sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
( ch  ->  th )
) )
3736ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y )  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
( ch  ->  th )
) ) )
3837com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y )  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
3938expd 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ch  ->  th )
) ) ) )
40393impib 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( y  +  1 )  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
4140com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
4241impd 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  ( ch  ->  th )
) )
4342a2d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  th ) ) )
4426, 43syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  th ) ) )
454, 8, 12, 16, 18, 44uzind 10950 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  K  <_  N )  ->  ta ) )
4645expcomd 436 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  ( K  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) )
47463expb 1195 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )
)  ->  ( K  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta )
) )
4847expcom 433 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( K  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) ) )
4948com23 78 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  -> 
( K  <_  N  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) ) )
50493impia 1191 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) )
5150impd 429 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ta ) )
5251impcom 428 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618   ZZcz 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861
This theorem is referenced by:  fnn0ind  10959  fzind2  11905
  Copyright terms: Public domain W3C validator