Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzennn Structured version   Unicode version

Theorem fzennn 12181
 Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See om2uz0i 12161 for a description of the hypothesis.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fzennn.1
Assertion
Ref Expression
fzennn

Proof of Theorem fzennn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6310 . . 3
2 fveq2 5878 . . 3
31, 2breq12d 4433 . 2
4 oveq2 6310 . . 3
5 fveq2 5878 . . 3
64, 5breq12d 4433 . 2
7 oveq2 6310 . . 3
8 fveq2 5878 . . 3
97, 8breq12d 4433 . 2
10 oveq2 6310 . . 3
11 fveq2 5878 . . 3
1210, 11breq12d 4433 . 2
13 0ex 4553 . . . 4
1413enref 7606 . . 3
15 fz10 11821 . . 3
16 0z 10949 . . . . . 6
17 fzennn.1 . . . . . 6
1816, 17om2uzf1oi 12167 . . . . 5
19 peano1 6723 . . . . 5
2018, 19pm3.2i 456 . . . 4
2116, 17om2uz0i 12161 . . . 4
22 f1ocnvfv 6189 . . . 4
2320, 21, 22mp2 9 . . 3
2414, 15, 233brtr4i 4449 . 2
25 simpr 462 . . . . 5
26 ovex 6330 . . . . . . 7
27 fvex 5888 . . . . . . 7
28 en2sn 7653 . . . . . . 7
2926, 27, 28mp2an 676 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
31 fzp1disj 11855 . . . . . 6
3231a1i 11 . . . . 5
33 f1ocnvdm 6195 . . . . . . . . . 10
3418, 33mpan 674 . . . . . . . . 9
35 nn0uz 11194 . . . . . . . . 9
3634, 35eleq2s 2530 . . . . . . . 8
37 nnord 6711 . . . . . . . 8
38 ordirr 5457 . . . . . . . 8
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . 7
4039adantr 466 . . . . . 6
41 disjsn 4057 . . . . . 6
4240, 41sylibr 215 . . . . 5
43 unen 7656 . . . . 5
4425, 30, 32, 42, 43syl22anc 1265 . . . 4
45 1z 10968 . . . . . 6
46 1m1e0 10679 . . . . . . . . . 10
4746fveq2i 5881 . . . . . . . . 9
4835, 47eqtr4i 2454 . . . . . . . 8
4948eleq2i 2500 . . . . . . 7
5049biimpi 197 . . . . . 6
51 fzsuc2 11854 . . . . . 6
5245, 50, 51sylancr 667 . . . . 5
5352adantr 466 . . . 4
54 peano2 6724 . . . . . . . . 9
5536, 54syl 17 . . . . . . . 8
5655, 18jctil 539 . . . . . . 7
5716, 17om2uzsuci 12162 . . . . . . . . 9
5836, 57syl 17 . . . . . . . 8
5935eleq2i 2500 . . . . . . . . . . 11
6059biimpi 197 . . . . . . . . . 10
61 f1ocnvfv2 6188 . . . . . . . . . 10
6218, 60, 61sylancr 667 . . . . . . . . 9
6362oveq1d 6317 . . . . . . . 8
6458, 63eqtrd 2463 . . . . . . 7
65 f1ocnvfv 6189 . . . . . . 7
6656, 64, 65sylc 62 . . . . . 6
6766adantr 466 . . . . 5
68 df-suc 5445 . . . . 5
6967, 68syl6eq 2479 . . . 4
7044, 53, 693brtr4d 4451 . . 3
7170ex 435 . 2
723, 6, 9, 12, 24, 71nn0ind 11031 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1868  cvv 3081   cun 3434   cin 3435  c0 3761  csn 3996   class class class wbr 4420   cmpt 4479  ccnv 4849   cres 4852   word 5438   csuc 5441  wf1o 5597  cfv 5598  (class class class)co 6302  com 6703  crdg 7132   cen 7571  cc0 9540  c1 9541   caddc 9543   cmin 9861  cn0 10870  cz 10938  cuz 11160  cfz 11785 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786 This theorem is referenced by:  fzen2  12182  cardfz  12183
 Copyright terms: Public domain W3C validator