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Theorem fzen 11699
Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzen  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  ~~  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
) )

Proof of Theorem fzen
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6307 . . 3  |-  ( M ... N )  e. 
_V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  e. 
_V )
3 ovex 6307 . . 3  |-  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) )  e. 
_V )
5 elfz1 11673 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... N )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
65biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... N )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <_  N ) ) )
763adant3 1016 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
8 zaddcl 10899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  +  K
)  e.  ZZ )
98expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
1093ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
1110adantrd 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
12 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
13 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
14 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
15 leadd1 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  k  <->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
1612, 13, 14, 15syl3an 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  <->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
1716biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  ->  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
) ) )
1817adantrd 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
19183com23 1202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
20193expia 1198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) ) )
2120impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  -> 
( M  +  K
)  <_  ( k  +  K ) ) )
22213adant2 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
23 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
24 leadd1 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  (
k  <_  N  <->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
2513, 23, 14, 24syl3an 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  <_  N  <->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
2625biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  <_  N  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K ) ) )
2726adantld 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
28273coml 1203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
29283expia 1198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3029impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  -> 
( k  +  K
)  <_  ( N  +  K ) ) )
31303adant1 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
3211, 22, 313jcad 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( (
k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
33 zaddcl 10899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
34333adant2 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
35 zaddcl 10899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
36353adant1 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ZZ )
37 elfz1 11673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( ( k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3834, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  <->  ( (
k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3938biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( ( k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  ( k  +  K )  /\  (
k  +  K )  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
4032, 39syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) ) )
4140com12 31 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) ) )
42413impb 1192 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
4342com12 31 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
447, 43syld 44 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
45 elfz1 11673 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) ) )
4634, 36, 45syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  <->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) ) )
4746biimpd 207 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  -> 
( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) ) )
48 zsubcl 10901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  -  K
)  e.  ZZ )
4948expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
50493ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
5150adantrd 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
52 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
53 leaddsub 10024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  <->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5412, 14, 52, 53syl3an 1270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  <->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5554biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5655adantrd 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  M  <_  (
m  -  K ) ) )
57563expia 1198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
)  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) ) )
5857impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
59583adant2 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
60 lesubadd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( m  -  K
)  <_  N  <->  m  <_  ( N  +  K ) ) )
6152, 14, 23, 60syl3an 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( m  -  K
)  <_  N  <->  m  <_  ( N  +  K ) ) )
6261biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
m  <_  ( N  +  K )  ->  (
m  -  K )  <_  N ) )
6362adantld 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
64633coml 1203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
65643expia 1198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
)  ->  ( m  -  K )  <_  N
) ) )
6665impd 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  -> 
( m  -  K
)  <_  N )
)
6766ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  -> 
( m  -  K
)  <_  N )
)
68673adant1 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
6951, 59, 683jcad 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( (
m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K
)  /\  ( m  -  K )  <_  N
) ) )
70 elfz1 11673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( m  -  K )  e.  ( M ... N )  <-> 
( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K )  /\  (
m  -  K )  <_  N ) ) )
7170biimprd 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( m  -  K
)  /\  ( m  -  K )  <_  N
)  ->  ( m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
72713adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K )  /\  (
m  -  K )  <_  N )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
7369, 72syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
7473com12 31 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
75743impb 1192 . . . 4  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
7675com12 31 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
7747, 76syld 44 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
787imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <_  N ) )
7978simp1d 1008 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  k  e.  ZZ )
8079ex 434 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
k  e.  ZZ ) )
8147imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) )
8281simp1d 1008 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8382ex 434 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  ->  m  e.  ZZ )
)
84 zcn 10865 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  CC )
85 zcn 10865 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
86 zcn 10865 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
87 subadd 9819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m  -  K
)  =  k  <->  ( K  +  k )  =  m ) )
88 eqcom 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  -  K )  =  k  <->  k  =  ( m  -  K
) )
89 eqcom 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  k )  =  m  <->  m  =  ( K  +  k
) )
9087, 88, 893bitr3g 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( K  +  k
) ) )
91 addcom 9761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
92913adant1 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
9392eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m  =  ( K  +  k )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
9490, 93bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
9584, 85, 86, 94syl3an 1270 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
96953coml 1203 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
97963expib 1199 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
98973ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
9980, 83, 98syl2and 483 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ( M ... N )  /\  m  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
1002, 4, 44, 77, 99en3d 7549 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  ~~  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282    ~~ cen 7510   CCcc 9486   RRcr 9487    + caddc 9491    <_ cle 9625    - cmin 9801   ZZcz 10860   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-fz 11669
This theorem is referenced by:  fz01en  11709  fzen2  12043  hashfz  12446  mertenslem1  13652  hashdvds  14160  birthdaylem2  23010  eldioph2lem1  30297
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