MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzen Structured version   Unicode version

Theorem fzen 11482
Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzen  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  ~~  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
) )

Proof of Theorem fzen
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6131 . . 3  |-  ( M ... N )  e. 
_V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  e. 
_V )
3 ovex 6131 . . 3  |-  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) )  e. 
_V )
5 elfz1 11457 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... N )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
65biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... N )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <_  N ) ) )
763adant3 1008 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
8 zaddcl 10700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  +  K
)  e.  ZZ )
98expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
1093ad2ant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
1110adantrd 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
12 zre 10665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
13 zre 10665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
14 zre 10665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
15 leadd1 9822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  k  <->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
1612, 13, 14, 15syl3an 1260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  <->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
1716biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  ->  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
) ) )
1817adantrd 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
19183com23 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
20193expia 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) ) )
2120impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  -> 
( M  +  K
)  <_  ( k  +  K ) ) )
22213adant2 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
23 zre 10665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
24 leadd1 9822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  (
k  <_  N  <->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
2513, 23, 14, 24syl3an 1260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  <_  N  <->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
2625biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  <_  N  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K ) ) )
2726adantld 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
28273coml 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
29283expia 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3029impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  -> 
( k  +  K
)  <_  ( N  +  K ) ) )
31303adant1 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
3211, 22, 313jcad 1169 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( (
k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
33 zaddcl 10700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
34333adant2 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
35 zaddcl 10700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
36353adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ZZ )
37 elfz1 11457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( ( k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3834, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  <->  ( (
k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3938biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( ( k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  ( k  +  K )  /\  (
k  +  K )  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
4032, 39syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) ) )
4140com12 31 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) ) )
42413impb 1183 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
4342com12 31 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
447, 43syld 44 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
45 elfz1 11457 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) ) )
4634, 36, 45syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  <->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) ) )
4746biimpd 207 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  -> 
( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) ) )
48 zsubcl 10702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  -  K
)  e.  ZZ )
4948expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
50493ad2ant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
5150adantrd 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
52 zre 10665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
53 leaddsub 9830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  <->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5412, 14, 52, 53syl3an 1260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  <->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5554biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5655adantrd 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  M  <_  (
m  -  K ) ) )
57563expia 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
)  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) ) )
5857impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
59583adant2 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
60 lesubadd 9826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( m  -  K
)  <_  N  <->  m  <_  ( N  +  K ) ) )
6152, 14, 23, 60syl3an 1260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( m  -  K
)  <_  N  <->  m  <_  ( N  +  K ) ) )
6261biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
m  <_  ( N  +  K )  ->  (
m  -  K )  <_  N ) )
6362adantld 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
64633coml 1194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
65643expia 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
)  ->  ( m  -  K )  <_  N
) ) )
6665impd 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  -> 
( m  -  K
)  <_  N )
)
6766ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  -> 
( m  -  K
)  <_  N )
)
68673adant1 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
6951, 59, 683jcad 1169 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( (
m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K
)  /\  ( m  -  K )  <_  N
) ) )
70 elfz1 11457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( m  -  K )  e.  ( M ... N )  <-> 
( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K )  /\  (
m  -  K )  <_  N ) ) )
7170biimprd 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( m  -  K
)  /\  ( m  -  K )  <_  N
)  ->  ( m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
72713adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K )  /\  (
m  -  K )  <_  N )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
7369, 72syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
7473com12 31 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
75743impb 1183 . . . 4  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
7675com12 31 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
7747, 76syld 44 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
787imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <_  N ) )
7978simp1d 1000 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  k  e.  ZZ )
8079ex 434 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
k  e.  ZZ ) )
8147imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) )
8281simp1d 1000 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8382ex 434 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  ->  m  e.  ZZ )
)
84 zcn 10666 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  CC )
85 zcn 10666 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
86 zcn 10666 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
87 subadd 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m  -  K
)  =  k  <->  ( K  +  k )  =  m ) )
88 eqcom 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  -  K )  =  k  <->  k  =  ( m  -  K
) )
89 eqcom 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  k )  =  m  <->  m  =  ( K  +  k
) )
9087, 88, 893bitr3g 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( K  +  k
) ) )
91 addcom 9570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
92913adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
9392eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m  =  ( K  +  k )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
9490, 93bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
9584, 85, 86, 94syl3an 1260 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
96953coml 1194 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
97963expib 1190 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
98973ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
9980, 83, 98syl2and 483 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ( M ... N )  /\  m  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
1002, 4, 44, 77, 99en3d 7361 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  ~~  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987   class class class wbr 4307  (class class class)co 6106    ~~ cen 7322   CCcc 9295   RRcr 9296    + caddc 9300    <_ cle 9434    - cmin 9610   ZZcz 10661   ...cfz 11452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-fz 11453
This theorem is referenced by:  fz01en  11492  fzen2  11806  hashfz  12203  mertenslem1  13359  hashdvds  13865  birthdaylem2  22361  eldioph2lem1  29117
  Copyright terms: Public domain W3C validator