MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzdisj Structured version   Unicode version

Theorem fzdisj 11701
Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzdisj  |-  ( K  <  M  ->  (
( J ... K
)  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )

Proof of Theorem fzdisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3680 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) )  <->  ( x  e.  ( J ... K
)  /\  x  e.  ( M ... N ) ) )
2 elfzel1 11676 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
32adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
43zred 10955 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  RR )
5 elfzelz 11677 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
65zred 10955 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
76adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  RR )
8 elfzel2 11675 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( J ... K )  ->  K  e.  ZZ )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
109zred 10955 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  RR )
11 elfzle1 11678 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  x )
1211adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  x )
13 elfzle2 11679 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( J ... K )  ->  x  <_  K )
1413adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <_  K )
154, 7, 10, 12, 14letrd 9727 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  K )
164, 10lenltd 9719 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( M  <_  K  <->  -.  K  <  M ) )
1715, 16mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  -.  K  <  M )
181, 17sylbi 195 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) )  ->  -.  K  <  M )
1918con2i 120 . 2  |-  ( K  <  M  ->  -.  x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) ) )
2019eq0rdv 3813 1  |-  ( K  <  M  ->  (
( J ... K
)  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    i^i cin 3468   (/)c0 3778   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480    < clt 9617    <_ cle 9618   ZZcz 10853   ...cfz 11661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-neg 9797  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662
This theorem is referenced by:  fsumm1  13515  fsum1p  13517  o1fsum  13576  climcndslem1  13613  climcndslem2  13614  mertenslem1  13645  prmreclem5  14286  strleun  14574  uniioombllem3  21722  mtest  22526  birthdaylem2  23003  fsumharmonic  23062  ftalem5  23071  chtdif  23153  ppidif  23158  lgsquadlem2  23351  dchrisum0lem1b  23421  dchrisum0lem3  23425  pntrsumbnd2  23473  pntrlog2bndlem6  23489  pntpbnd2  23493  pntlemf  23511  axlowdimlem2  23915  axlowdimlem16  23929  constr3trllem3  24314  esumpmono  27711  ballotlemfrceq  28093  fprod1p  28660  fprodeq0  28668  fallfacval4  28728  eldioph2lem1  30284  stoweidlem11  31266
  Copyright terms: Public domain W3C validator