MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzdisj Structured version   Unicode version

Theorem fzdisj 11737
Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzdisj  |-  ( K  <  M  ->  (
( J ... K
)  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )

Proof of Theorem fzdisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3683 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) )  <->  ( x  e.  ( J ... K
)  /\  x  e.  ( M ... N ) ) )
2 elfzel1 11712 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
32adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
43zred 10990 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  RR )
5 elfzelz 11713 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
65zred 10990 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
76adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  RR )
8 elfzel2 11711 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( J ... K )  ->  K  e.  ZZ )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
109zred 10990 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  RR )
11 elfzle1 11714 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  x )
1211adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  x )
13 elfzle2 11715 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( J ... K )  ->  x  <_  K )
1413adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <_  K )
154, 7, 10, 12, 14letrd 9756 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  K )
164, 10lenltd 9748 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( M  <_  K  <->  -.  K  <  M ) )
1715, 16mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  -.  K  <  M )
181, 17sylbi 195 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) )  ->  -.  K  <  M )
1918con2i 120 . 2  |-  ( K  <  M  ->  -.  x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) ) )
2019eq0rdv 3829 1  |-  ( K  <  M  ->  (
( J ... K
)  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    i^i cin 3470   (/)c0 3793   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508    < clt 9645    <_ cle 9646   ZZcz 10885   ...cfz 11697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-neg 9827  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
This theorem is referenced by:  fsumm1  13578  fsum1p  13580  o1fsum  13639  climcndslem1  13673  climcndslem2  13674  mertenslem1  13705  fprod1p  13784  fprodeq0  13791  prmreclem5  14450  strleun  14742  uniioombllem3  22120  mtest  22925  birthdaylem2  23408  fsumharmonic  23467  ftalem5  23476  chtdif  23558  ppidif  23563  lgsquadlem2  23756  dchrisum0lem1b  23826  dchrisum0lem3  23830  pntrsumbnd2  23878  pntrlog2bndlem6  23894  pntpbnd2  23898  pntlemf  23916  axlowdimlem2  24373  axlowdimlem16  24387  constr3trllem3  24779  esumpmono  28251  ballotlemfrceq  28664  fallfacval4  29362  eldioph2lem1  30877  stoweidlem11  31975
  Copyright terms: Public domain W3C validator