Theorem fzdisj 11474

Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzdisj	|- ( K < M -> ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) = (/) )

Proof of Theorem fzdisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3537	. . . 4 |- ( x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) <-> ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) )
2		elfzel1 11450	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
3	2	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
4	3	zred 10745	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M e. RR )
5		elfzelz 11451	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
6	5	zred 10745	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. RR )
7	6	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. RR )
8		elfzel2 11449	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( J ... K ) -> K e. ZZ )
9	8	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K e. ZZ )
10	9	zred 10745	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K e. RR )
11		elfzle1 11452	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> M <_ x )
12	11	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M <_ x )
13		elfzle2 11453	. . . . . . 7 |- ( x e. ( J ... K ) -> x <_ K )
14	13	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x <_ K )
15	4, 7, 10, 12, 14	letrd 9526	. . . . 5 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M <_ K )
16	4, 10	lenltd 9518	. . . . 5 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( M <_ K <-> -. K < M ) )
17	15, 16	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> -. K < M )
18	1, 17	sylbi 195	. . 3 |- ( x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) -> -. K < M )
19	18	con2i 120	. 2 |- ( K < M -> -. x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) )
20	19	eq0rdv 3670	1 |- ( K < M -> ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   i^i cin 3325   (/)c0 3635   class class class wbr 4290  (class class class)co 6089   RRcr 9279   < clt 9416   <_ cle 9417   ZZcz 10644   ...cfz 11435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-neg 9596  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436

This theorem is referenced by:  fsumm1  13218  fsum1p  13220  o1fsum  13274  climcndslem1  13310  climcndslem2  13311  mertenslem1  13342  prmreclem5  13979  strleun  14266  uniioombllem3  21063  mtest  21867  birthdaylem2  22344  fsumharmonic  22403  ftalem5  22412  chtdif  22494  ppidif  22499  lgsquadlem2  22692  dchrisum0lem1b  22762  dchrisum0lem3  22766  pntrsumbnd2  22814  pntrlog2bndlem6  22830  pntpbnd2  22834  pntlemf  22852  axlowdimlem2  23187  axlowdimlem16  23201  constr3trllem3  23536  esumpmono  26526  ballotlemfrceq  26909  fprod1p  27476  fprodeq0  27484  fallfacval4  27544  eldioph2lem1  29095  stoweidlem11  29803