MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzctr Structured version   Unicode version

Theorem fzctr 11901
Description: Lemma for theorems about the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzctr  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )

Proof of Theorem fzctr
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 10895 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
2 nn0re 10878 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
3 nn0addge1 10916 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( N  +  N ) )
42, 3mpancom 673 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_ 
( N  +  N
) )
5 nn0cn 10879 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
652timesd 10855 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N
) )
74, 6breqtrrd 4452 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_ 
( 2  x.  N
) )
8 nn0z 10960 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
9 0zd 10949 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  e.  ZZ )
10 2z 10969 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
11 zmulcl 10985 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
1210, 8, 11sylancr 667 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
13 elfz 11788 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N ) )  <-> 
( 0  <_  N  /\  N  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
148, 9, 12, 13syl3anc 1264 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  <->  ( 0  <_  N  /\  N  <_  ( 2  x.  N
) ) ) )
151, 7, 14mpbir2and 930 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1870   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538    + caddc 9541    x. cmul 9543    <_ cle 9675   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ...cfz 11782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-fz 11783
This theorem is referenced by:  bcctr  24066  pcbcctr  24067  bcp1ctr  24070  bposlem1  24075  bposlem3  24077  bposlem5  24079  bposlem6  24080  chebbnd1lem1  24170
  Copyright terms: Public domain W3C validator