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Theorem fzaddel 11729
Description: Membership of a sum in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzaddel  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )

Proof of Theorem fzaddel
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  J  e.  ZZ )
2 zaddcl 10911 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  +  K
)  e.  ZZ )
31, 22thd 240 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ZZ  <->  ( J  +  K )  e.  ZZ ) )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ZZ  <->  ( J  +  K )  e.  ZZ ) )
5 zre 10875 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
6 zre 10875 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
7 zre 10875 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
8 leadd1 10027 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K )
) )
95, 6, 7, 8syl3an 1271 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K )
) )
1093expb 1198 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K )
) )
1110adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K ) ) )
12 zre 10875 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
13 leadd1 10027 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
146, 12, 7, 13syl3an 1271 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
15143com12 1201 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
16153expb 1198 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
1716adantll 713 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K ) ) )
184, 11, 173anbi123d 1300 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N
)  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
19 elfz1 11688 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
2019adantr 465 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
21 zaddcl 10911 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
22 zaddcl 10911 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
23 elfz1 11688 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2421, 22, 23syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) )  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2524anandirs 831 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2625adantrl 715 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) )  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2718, 20, 263bitr4d 285 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494    + caddc 9498    <_ cle 9632   ZZcz 10871   ...cfz 11683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-fz 11684
This theorem is referenced by:  fzsubel  11730  sermono  12121  bcp1nk  12377  mptfzshft  13575  binomlem  13623  fprodser  13738  vdwapun  14474  gsummptshft  16935  ballotlemfc0  28409  ballotlemfcc  28410  fdc  30214  stoweidlem26  31762
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