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Theorem fzaddel 11596
Description: Membership of a sum in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzaddel  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )

Proof of Theorem fzaddel
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  J  e.  ZZ )
2 zaddcl 10788 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  +  K
)  e.  ZZ )
31, 22thd 240 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ZZ  <->  ( J  +  K )  e.  ZZ ) )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ZZ  <->  ( J  +  K )  e.  ZZ ) )
5 zre 10753 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
6 zre 10753 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
7 zre 10753 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
8 leadd1 9910 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K )
) )
95, 6, 7, 8syl3an 1261 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K )
) )
1093expb 1189 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K )
) )
1110adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K ) ) )
12 zre 10753 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
13 leadd1 9910 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
146, 12, 7, 13syl3an 1261 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
15143com12 1192 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
16153expb 1189 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
1716adantll 713 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K ) ) )
184, 11, 173anbi123d 1290 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N
)  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
19 elfz1 11545 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
2019adantr 465 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
21 zaddcl 10788 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
22 zaddcl 10788 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
23 elfz1 11545 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2421, 22, 23syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) )  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2524anandirs 827 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2625adantrl 715 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) )  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2718, 20, 263bitr4d 285 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4392  (class class class)co 6192   RRcr 9384    + caddc 9388    <_ cle 9522   ZZcz 10749   ...cfz 11540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-fz 11541
This theorem is referenced by:  fzsubel  11597  sermono  11941  bcp1nk  12196  mptfzshft  13349  binomlem  13396  vdwapun  14139  gsummptshft  16536  ballotlemfc0  27011  ballotlemfcc  27012  fprodser  27598  fprodshft  27623  fdc  28781  stoweidlem26  29961
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