Theorem fzadd2 15791

Description: Membership of a sum in a finite interval of integers.

Assertion

Ref	Expression
fzadd2	|- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (O e. ZZ /\ P e. ZZ)) -> ((J e. (M...N) /\ K e. (O...P)) -> (J + K) e. ((M + O)...(N + P))))

Proof of Theorem fzadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 7640	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (J e. (M...N) <-> (J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N)))
2		elfz1 7640	. . 3 |- ((O e. ZZ /\ P e. ZZ) -> (K e. (O...P) <-> (K e. ZZ /\ O <_ K /\ K <_ P)))
3	1, 2	bi2anan9 694	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (O e. ZZ /\ P e. ZZ)) -> ((J e. (M...N) /\ K e. (O...P)) <-> ((J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N) /\ (K e. ZZ /\ O <_ K /\ K <_ P))))
4		elfz 7641	. . . . . . . . . 10 |- (((J + K) e. ZZ /\ (M + O) e. ZZ /\ (N + P) e. ZZ) -> ((J + K) e. ((M + O)...(N + P)) <-> ((M + O) <_ (J + K) /\ (J + K) <_ (N + P))))
5		zaddcl 7374	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J + K) e. ZZ)
6		zaddcl 7374	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. ZZ /\ O e. ZZ) -> (M + O) e. ZZ)
7		zaddcl 7374	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. ZZ /\ P e. ZZ) -> (N + P) e. ZZ)
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1139	. . . . . . . . 9 |- (((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M e. ZZ /\ O e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ P e. ZZ)) -> ((J + K) e. ((M + O)...(N + P)) <-> ((M + O) <_ (J + K) /\ (J + K) <_ (N + P))))
9	8	3expb 1068	. . . . . . . 8 |- (((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ ((M e. ZZ /\ O e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ P e. ZZ))) -> ((J + K) e. ((M + O)...(N + P)) <-> ((M + O) <_ (J + K) /\ (J + K) <_ (N + P))))
10	9	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((((M e. ZZ /\ O e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ P e. ZZ)) /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> ((J + K) e. ((M + O)...(N + P)) <-> ((M + O) <_ (J + K) /\ (J + K) <_ (N + P))))
11	10	3ad2antr1 1041	. . . . . 6 |- ((((M e. ZZ /\ O e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ P e. ZZ)) /\ ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ J /\ O <_ K) /\ (J <_ N /\ K <_ P))) -> ((J + K) e. ((M + O)...(N + P)) <-> ((M + O) <_ (J + K) /\ (J + K) <_ (N + P))))
12		le2add 6828	. . . . . . . . . 10 |- (((M e. RR /\ O e. RR) /\ (J e. RR /\ K e. RR)) -> ((M <_ J /\ O <_ K) -> (M + O) <_ (J + K)))
13		zre 7348	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
14		zre 7348	. . . . . . . . . . 11 |- (O e. ZZ -> O e. RR)
15	13, 14	anim12i 360	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. ZZ /\ O e. ZZ) -> (M e. RR /\ O e. RR))
16		zre 7348	. . . . . . . . . . 11 |- (J e. ZZ -> J e. RR)
17		zre 7348	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
18	16, 17	anim12i 360	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J e. RR /\ K e. RR))
19	12, 15, 18	syl2an 503	. . . . . . . . 9 |- (((M e. ZZ /\ O e. ZZ) /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> ((M <_ J /\ O <_ K) -> (M + O) <_ (J + K)))
20	19	impr 422	. . . . . . . 8 |- (((M e. ZZ /\ O e. ZZ) /\ ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ J /\ O <_ K))) -> (M + O) <_ (J + K))
21	20	3adantr3 1037	. . . . . . 7 |- (((M e. ZZ /\ O e. ZZ) /\ ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ J /\ O <_ K) /\ (J <_ N /\ K <_ P))) -> (M + O) <_ (J + K))
22	21	adantlr 429	. . . . . 6 |- ((((M e. ZZ /\ O e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ P e. ZZ)) /\ ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ J /\ O <_ K) /\ (J <_ N /\ K <_ P))) -> (M + O) <_ (J + K))
23		le2add 6828	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. RR /\ K e. RR) /\ (N e. RR /\ P e. RR)) -> ((J <_ N /\ K <_ P) -> (J + K) <_ (N + P)))
24		zre 7348	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
25		zre 7348	. . . . . . . . . . . 12 |- (P e. ZZ -> P e. RR)
26	24, 25	anim12i 360	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. ZZ /\ P e. ZZ) -> (N e. RR /\ P e. RR))
27	23, 18, 26	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ P e. ZZ)) -> ((J <_ N /\ K <_ P) -> (J + K) <_ (N + P)))
28	27	ancoms 484	. . . . . . . . 9 |- (((N e. ZZ /\ P e. ZZ) /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> ((J <_ N /\ K <_ P) -> (J + K) <_ (N + P)))
29	28	impr 422	. . . . . . . 8 |- (((N e. ZZ /\ P e. ZZ) /\ ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (J <_ N /\ K <_ P))) -> (J + K) <_ (N + P))
30	29	3adantr2 1036	. . . . . . 7 |- (((N e. ZZ /\ P e. ZZ) /\ ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ J /\ O <_ K) /\ (J <_ N /\ K <_ P))) -> (J + K) <_ (N + P))
31	30	adantll 428	. . . . . 6 |- ((((M e. ZZ /\ O e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ P e. ZZ)) /\ ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ J /\ O <_ K) /\ (J <_ N /\ K <_ P))) -> (J + K) <_ (N + P))
32	11, 22, 31	mpbir2and 802	. . . . 5 |- ((((M e. ZZ /\ O e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ P e. ZZ)) /\ ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ J /\ O <_ K) /\ (J <_ N /\ K <_ P))) -> (J + K) e. ((M + O)...(N + P)))
33	32	ex 402	. . . 4 |- (((M e. ZZ /\ O e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ P e. ZZ)) -> (((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ J /\ O <_ K) /\ (J <_ N /\ K <_ P)) -> (J + K) e. ((M + O)...(N + P))))
34	33	an4s 566	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (O e. ZZ /\ P e. ZZ)) -> (((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ J /\ O <_ K) /\ (J <_ N /\ K <_ P)) -> (J + K) e. ((M + O)...(N + P))))
35		an6 1177	. . 3 |- (((J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N) /\ (K e. ZZ /\ O <_ K /\ K <_ P)) <-> ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ J /\ O <_ K) /\ (J <_ N /\ K <_ P)))
36	34, 35	syl5ib 223	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (O e. ZZ /\ P e. ZZ)) -> (((J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N) /\ (K e. ZZ /\ O <_ K /\ K <_ P)) -> (J + K) e. ((M + O)...(N + P))))
37	3, 36	sylbid 220	1 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (O e. ZZ /\ P e. ZZ)) -> ((J e. (M...N) /\ K e. (O...P)) -> (J + K) e. ((M + O)...(N + P))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ...cfz 7637

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-fz 7638

Copyright terms: Public domain