Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzadd2 Structured version   Unicode version

Theorem fzadd2 31818
Description: Membership of a sum in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzadd2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ( M ... N
)  /\  K  e.  ( O ... P ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) ) ) )

Proof of Theorem fzadd2
StepHypRef Expression
1 elfz1 11776 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
2 elfz1 11776 . . 3  |-  ( ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( O ... P )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) ) )
31, 2bi2anan9 881 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ( M ... N
)  /\  K  e.  ( O ... P ) )  <->  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) ) ) )
4 an6 1344 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) )  <-> 
( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )
5 zre 10930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
6 zre 10930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( O  e.  ZZ  ->  O  e.  RR )
75, 6anim12i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  O  e.  RR ) )
8 zre 10930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
9 zre 10930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
108, 9anim12i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
11 le2add 10085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  O  e.  RR )  /\  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( M  <_  J  /\  O  <_  K
)  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
) )
127, 10, 11syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  <_  J  /\  O  <_  K
)  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
) )
1312impr 623 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K ) ) )  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
)
14133adantr3 1166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
)
1514adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
)
16 zre 10930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
17 zre 10930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  e.  RR )
1816, 17anim12i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  RR  /\  P  e.  RR ) )
19 le2add 10085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( N  e.  RR  /\  P  e.  RR ) )  -> 
( ( J  <_  N  /\  K  <_  P
)  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) )
2010, 18, 19syl2anr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  <_  N  /\  K  <_  P
)  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) )
2120impr 623 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
)
22213adantr2 1165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
)
2322adantll 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
)
24 zaddcl 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  +  K
)  e.  ZZ )
25 zaddcl 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  ->  ( M  +  O
)  e.  ZZ )
26 zaddcl 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( N  +  P
)  e.  ZZ )
27 elfz 11777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  O
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  P
)  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
2824, 25, 26, 27syl3an 1306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) )  <->  ( ( M  +  O )  <_  ( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
29283expb 1206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
3029ancoms 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
31303ad2antr1 1170 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
3215, 23, 31mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) ) )
3332ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) )  -> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P ) ) ) )
3433an4s 833 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) )  -> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P ) ) ) )
354, 34syl5bi 220 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) )  -> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P ) ) ) )
363, 35sylbid 218 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ( M ... N
)  /\  K  e.  ( O ... P ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1867   class class class wbr 4417  (class class class)co 6296   RRcr 9527    + caddc 9531    <_ cle 9665   ZZcz 10926   ...cfz 11771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-fz 11772
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator