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Theorem fzadd2 29853
Description: Membership of a sum in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzadd2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ( M ... N
)  /\  K  e.  ( O ... P ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) ) ) )

Proof of Theorem fzadd2
StepHypRef Expression
1 elfz1 11676 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
2 elfz1 11676 . . 3  |-  ( ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( O ... P )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) ) )
31, 2bi2anan9 871 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ( M ... N
)  /\  K  e.  ( O ... P ) )  <->  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) ) ) )
4 an6 1308 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) )  <-> 
( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )
5 zre 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
6 zre 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( O  e.  ZZ  ->  O  e.  RR )
75, 6anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  O  e.  RR ) )
8 zre 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
9 zre 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
108, 9anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
11 le2add 10033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  O  e.  RR )  /\  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( M  <_  J  /\  O  <_  K
)  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
) )
127, 10, 11syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  <_  J  /\  O  <_  K
)  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
) )
1312impr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K ) ) )  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
)
14133adantr3 1157 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
)
1514adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
)
16 zre 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
17 zre 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  e.  RR )
1816, 17anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  RR  /\  P  e.  RR ) )
19 le2add 10033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( N  e.  RR  /\  P  e.  RR ) )  -> 
( ( J  <_  N  /\  K  <_  P
)  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) )
2010, 18, 19syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  <_  N  /\  K  <_  P
)  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) )
2120impr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
)
22213adantr2 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
)
2322adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
)
24 zaddcl 10902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  +  K
)  e.  ZZ )
25 zaddcl 10902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  ->  ( M  +  O
)  e.  ZZ )
26 zaddcl 10902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( N  +  P
)  e.  ZZ )
27 elfz 11677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  O
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  P
)  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
2824, 25, 26, 27syl3an 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) )  <->  ( ( M  +  O )  <_  ( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
29283expb 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
3029ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
31303ad2antr1 1161 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
3215, 23, 31mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) ) )
3332ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) )  -> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P ) ) ) )
3433an4s 824 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) )  -> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P ) ) ) )
354, 34syl5bi 217 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) )  -> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P ) ) ) )
363, 35sylbid 215 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ( M ... N
)  /\  K  e.  ( O ... P ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6283   RRcr 9490    + caddc 9494    <_ cle 9628   ZZcz 10863   ...cfz 11671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-fz 11672
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