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Theorem fzadd2 28637
Description: Membership of a sum in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzadd2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ( M ... N
)  /\  K  e.  ( O ... P ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) ) ) )

Proof of Theorem fzadd2
StepHypRef Expression
1 elfz1 11442 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
2 elfz1 11442 . . 3  |-  ( ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( O ... P )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) ) )
31, 2bi2anan9 868 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ( M ... N
)  /\  K  e.  ( O ... P ) )  <->  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) ) ) )
4 an6 1298 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) )  <-> 
( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )
5 zre 10650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
6 zre 10650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( O  e.  ZZ  ->  O  e.  RR )
75, 6anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  O  e.  RR ) )
8 zre 10650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
9 zre 10650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
108, 9anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
11 le2add 9821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  O  e.  RR )  /\  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( M  <_  J  /\  O  <_  K
)  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
) )
127, 10, 11syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  <_  J  /\  O  <_  K
)  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
) )
1312impr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K ) ) )  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
)
14133adantr3 1149 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
)
1514adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( M  +  O )  <_  ( J  +  K )
)
16 zre 10650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
17 zre 10650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  e.  RR )
1816, 17anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  RR  /\  P  e.  RR ) )
19 le2add 9821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( N  e.  RR  /\  P  e.  RR ) )  -> 
( ( J  <_  N  /\  K  <_  P
)  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) )
2010, 18, 19syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  <_  N  /\  K  <_  P
)  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) )
2120impr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
)
22213adantr2 1148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
)
2322adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
)
24 zaddcl 10685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  +  K
)  e.  ZZ )
25 zaddcl 10685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  ->  ( M  +  O
)  e.  ZZ )
26 zaddcl 10685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( N  +  P
)  e.  ZZ )
27 elfz 11443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  O
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  P
)  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
2824, 25, 26, 27syl3an 1260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) )  <->  ( ( M  +  O )  <_  ( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
29283expb 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
3029ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
31303ad2antr1 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P )
)  <->  ( ( M  +  O )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  P )
) ) )
3215, 23, 31mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  /\  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) ) )
3332ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  O  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) )  -> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P ) ) ) )
3433an4s 822 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  J  /\  O  <_  K )  /\  ( J  <_  N  /\  K  <_  P ) )  -> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P ) ) ) )
354, 34syl5bi 217 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  O  <_  K  /\  K  <_  P ) )  -> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  O ) ... ( N  +  P ) ) ) )
363, 35sylbid 215 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( O  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ( M ... N
)  /\  K  e.  ( O ... P ) )  ->  ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  O
) ... ( N  +  P ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   RRcr 9281    + caddc 9285    <_ cle 9419   ZZcz 10646   ...cfz 11437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-fz 11438
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