Theorem fz1isolem 12229

Description: Lemma for fz1iso 12230. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fz1iso.1	|- G = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om )
fz1iso.2	|- B = ( NN i^i ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) )
fz1iso.3	|- C = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
fz1iso.4	|- O = OrdIso ( R , A )

Assertion

Ref	Expression
fz1isolem	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Distinct variable groups:   f, n, A   B, f   f, G   f, O   R, f

Allowed substitution hints:   B( n)   C( f, n)   R( n)   G( n)   O( n)

Proof of Theorem fz1isolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 12141	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
2	1	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
3		nnuz 10911	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4		1z 10691	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
5		fz1iso.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om )
6	4, 5	om2uzisoi 11792	. . . . . . . . . . . 12 |- G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` 1 ) )
7		isoeq5 6029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> ( G Isom _E , < ( om , NN ) <-> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` 1 ) ) ) )
8	6, 7	mpbiri 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> G Isom _E , < ( om , NN ) )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- G Isom _E , < ( om , NN )
10		isocnv 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( G Isom _E , < ( om , NN ) -> `' G Isom < , _E ( NN , om ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- `' G Isom < , _E ( NN , om )
12		nn0p1nn 10634	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ( # ` A ) + 1 ) e. NN )
13		fz1iso.2	. . . . . . . . . 10 |- B = ( NN i^i ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) )
14		fz1iso.3	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
15		fvex 5716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) e. _V
16	15	epini 5214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) = ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) )
17	16	ineq2i 3564	. . . . . . . . . . 11 |- ( om i^i ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) ) = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
18	14, 17	eqtr4i 2466	. . . . . . . . . 10 |- C = ( om i^i ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) )
19	13, 18	isoini2 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' G Isom < , _E ( NN , om ) /\ ( ( # ` A ) + 1 ) e. NN ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
20	11, 12, 19	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
21	2, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
22		nnz 10683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. NN -> f e. ZZ )
23	2	nn0zd 10760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( # ` A ) e. ZZ )
24		eluz 10889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) <-> f <_ ( # ` A ) ) )
25	22, 23, 24	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) <-> f <_ ( # ` A ) ) )
26		zleltp1 10710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
27	22, 23, 26	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
28		ovex 6131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` A ) + 1 ) e. _V
29		vex 2990	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
30	29	eliniseg 5213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` A ) + 1 ) e. _V -> ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) )
32	27, 31	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) )
33	25, 32	bitr2d 254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
34	33	pm5.32da 641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( f e. NN /\ f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) <-> ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) ) )
35	13	elin2 3556	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. B <-> ( f e. NN /\ f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) )
36		elfzuzb 11462	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
37		elnnuz 10912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. NN <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38	37	anbi1i 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) <-> ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
39	36, 38	bitr4i 252	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
40	34, 35, 39	3bitr4g 288	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( f e. B <-> f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) )
41	40	eqrdv 2441	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> B = ( 1 ... ( # ` A ) ) )
42		isoeq4 6028	. . . . . . . 8 |- ( B = ( 1 ... ( # ` A ) ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) ) )
44	21, 43	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) )
45		fz1iso.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- O = OrdIso ( R , A )
46	45	oion 7765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. Fin -> dom O e. On )
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. On )
48		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
49		wofi 7576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> R We A )
50	45	oien 7767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. Fin /\ R We A ) -> dom O ~~ A )
51	48, 49, 50	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O ~~ A )
52		enfii 7545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. Fin /\ dom O ~~ A ) -> dom O e. Fin )
53	48, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. Fin )
54	47, 53	elind 3555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. ( On i^i Fin ) )
55		onfin2 7517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om = ( On i^i Fin )
56	54, 55	syl6eleqr 2534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. om )
57		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om )
58		0z 10672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ZZ
59	5, 57, 4, 58	uzrdgxfr 11804	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom O e. om -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + ( 1 - 0 ) ) )
60		1m0e1 10447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 0 ) = 1
61	60	oveq2i 6117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + ( 1 - 0 ) ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 )
62	59, 61	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom O e. om -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) )
63	56, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) )
64	51	ensymd 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> A ~~ dom O )
65		cardennn 8168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A ~~ dom O /\ dom O e. om ) -> ( card ` A ) = dom O )
66	64, 56, 65	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( card ` A ) = dom O )
67	66	fveq2d 5710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) )
68	57	hashgval 12121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. Fin -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( # ` A ) )
69	68	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( # ` A ) )
70	67, 69	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) = ( # ` A ) )
71	70	oveq1d 6121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
72	63, 71	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( G ` dom O ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
73	72	fveq2d 5710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
74		isof1o 6031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G Isom _E , < ( om , NN ) -> G : om -1-1-onto-> NN )
75	9, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- G : om -1-1-onto-> NN
76		f1ocnvfv1 5998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN /\ dom O e. om ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = dom O )
77	75, 56, 76	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = dom O )
78	73, 77	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) = dom O )
79	78	ineq2d 3567	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) ) = ( om i^i dom O ) )
80		ordom 6500	. . . . . . . . . . 11 |- Ord om
81		ordelss 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord om /\ dom O e. om ) -> dom O C_ om )
82	80, 56, 81	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O C_ om )
83		sseqin2 3584	. . . . . . . . . 10 |- ( dom O C_ om <-> ( om i^i dom O ) = dom O )
84	82, 83	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i dom O ) = dom O )
85	79, 84	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) ) = dom O )
86	14, 85	syl5eq 2487	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> C = dom O )
87		isoeq5 6029	. . . . . . 7 |- ( C = dom O -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) ) )
88	86, 87	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) ) )
89	44, 88	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) )
90	45	oiiso 7766	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ R We A ) -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )
91	48, 49, 90	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )
92		isotr 6042	. . . . 5 |- ( ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) /\ O Isom _E , R ( dom O , A ) ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
93	89, 91, 92	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
94		isof1o 6031	. . . 4 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
95		f1of 5656	. . . 4 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
96	93, 94, 95	3syl 20	. . 3 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
97		fzfid 11810	. . 3 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( 1 ... ( # ` A ) ) e. Fin )
98		fex 5965	. . 3 |- ( ( ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ ( 1 ... ( # ` A ) ) e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V )
99	96, 97, 98	syl2anc 661	. 2 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V )
100		isoeq1 6025	. . 3 |- ( f = ( O o. ( `' G |` B ) ) -> ( f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) )
101	100	spcegv 3073	. 2 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V -> ( ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) )
102	99, 93, 101	sylc 60	1 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   _Vcvv 2987   i^i cin 3342   C_ wss 3343   {csn 3892   class class class wbr 4307   e. cmpt 4365   _E cep 4645   Or wor 4655   We wwe 4693   Ord word 4733   Oncon0 4734   `'ccnv 4854   dom cdm 4855   |` cres 4857   "cima 4858   o. ccom 4859   -->wf 5429   -1-1-onto->wf1o 5432   ` cfv 5433   Isom wiso 5434  (class class class)co 6106   omcom 6491   reccrdg 6880   ~~ cen 7322   Fincfn 7325  OrdIsocoi 7738   cardccrd 8120   0cc0 9297   1c1 9298   + caddc 9300   < clt 9433   <_ cle 9434   - cmin 9610   NNcn 10337   NN0cn0 10594   ZZcz 10661   ZZ>=cuz 10876   ...cfz 11452   #chash 12118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-oi 7739  df-card 8124  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-hash 12119

This theorem is referenced by:  fz1iso  12230