Theorem fz1isolem 12631

Description: Lemma for fz1iso 12632. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fz1iso.1	|- G = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om )
fz1iso.2	|- B = ( NN i^i ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) )
fz1iso.3	|- C = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
fz1iso.4	|- O = OrdIso ( R , A )

Assertion

Ref	Expression
fz1isolem	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Distinct variable groups:   f, n, A   B, f   f, G   f, O   R, f

Allowed substitution hints:   B( n)   C( f, n)   R( n)   G( n)   O( n)

Proof of Theorem fz1isolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 12545	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
2	1	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
3		nnuz 11201	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4		1z 10974	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
5		fz1iso.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om )
6	4, 5	om2uzisoi 12175	. . . . . . . . . . . 12 |- G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` 1 ) )
7		isoeq5 6219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> ( G Isom _E , < ( om , NN ) <-> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` 1 ) ) ) )
8	6, 7	mpbiri 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> G Isom _E , < ( om , NN ) )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- G Isom _E , < ( om , NN )
10		isocnv 6226	. . . . . . . . . 10 |- ( G Isom _E , < ( om , NN ) -> `' G Isom < , _E ( NN , om ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- `' G Isom < , _E ( NN , om )
12		nn0p1nn 10916	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ( # ` A ) + 1 ) e. NN )
13		fz1iso.2	. . . . . . . . . 10 |- B = ( NN i^i ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) )
14		fz1iso.3	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
15		fvex 5880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) e. _V
16	15	epini 5201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) = ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) )
17	16	ineq2i 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( om i^i ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) ) = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
18	14, 17	eqtr4i 2478	. . . . . . . . . 10 |- C = ( om i^i ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) )
19	13, 18	isoini2 6235	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' G Isom < , _E ( NN , om ) /\ ( ( # ` A ) + 1 ) e. NN ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
20	11, 12, 19	sylancr 670	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
21	2, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
22		nnz 10966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. NN -> f e. ZZ )
23	2	nn0zd 11045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( # ` A ) e. ZZ )
24		eluz 11179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) <-> f <_ ( # ` A ) ) )
25	22, 23, 24	syl2anr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) <-> f <_ ( # ` A ) ) )
26		zleltp1 10994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
27	22, 23, 26	syl2anr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
28		ovex 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` A ) + 1 ) e. _V
29		vex 3050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
30	29	eliniseg 5200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` A ) + 1 ) e. _V -> ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) )
32	27, 31	syl6bbr 267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) )
33	25, 32	bitr2d 258	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
34	33	pm5.32da 647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( f e. NN /\ f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) <-> ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) ) )
35	13	elin2 3623	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. B <-> ( f e. NN /\ f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) )
36		elfzuzb 11801	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
37		elnnuz 11202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. NN <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38	37	anbi1i 702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) <-> ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
39	36, 38	bitr4i 256	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
40	34, 35, 39	3bitr4g 292	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( f e. B <-> f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) )
41	40	eqrdv 2451	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> B = ( 1 ... ( # ` A ) ) )
42		isoeq4 6218	. . . . . . . 8 |- ( B = ( 1 ... ( # ` A ) ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) ) )
44	21, 43	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) )
45		fz1iso.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- O = OrdIso ( R , A )
46	45	oion 8056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. Fin -> dom O e. On )
47	46	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. On )
48		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
49		wofi 7825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> R We A )
50	45	oien 8058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. Fin /\ R We A ) -> dom O ~~ A )
51	48, 49, 50	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O ~~ A )
52		enfii 7794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. Fin /\ dom O ~~ A ) -> dom O e. Fin )
53	48, 51, 52	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. Fin )
54	47, 53	elind 3620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. ( On i^i Fin ) )
55		onfin2 7769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om = ( On i^i Fin )
56	54, 55	syl6eleqr 2542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. om )
57		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om )
58		0z 10955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ZZ
59	5, 57, 4, 58	uzrdgxfr 12187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom O e. om -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + ( 1 - 0 ) ) )
60		1m0e1 10727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 0 ) = 1
61	60	oveq2i 6306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + ( 1 - 0 ) ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 )
62	59, 61	syl6eq 2503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom O e. om -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) )
63	56, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) )
64	51	ensymd 7625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> A ~~ dom O )
65		cardennn 8422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A ~~ dom O /\ dom O e. om ) -> ( card ` A ) = dom O )
66	64, 56, 65	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( card ` A ) = dom O )
67	66	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) )
68	57	hashgval 12525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. Fin -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( # ` A ) )
69	68	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( # ` A ) )
70	67, 69	eqtr3d 2489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) = ( # ` A ) )
71	70	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
72	63, 71	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( G ` dom O ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
73	72	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
74		isof1o 6221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G Isom _E , < ( om , NN ) -> G : om -1-1-onto-> NN )
75	9, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- G : om -1-1-onto-> NN
76		f1ocnvfv1 6180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN /\ dom O e. om ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = dom O )
77	75, 56, 76	sylancr 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = dom O )
78	73, 77	eqtr3d 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) = dom O )
79	78	ineq2d 3636	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) ) = ( om i^i dom O ) )
80		ordom 6706	. . . . . . . . . . 11 |- Ord om
81		ordelss 5442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord om /\ dom O e. om ) -> dom O C_ om )
82	80, 56, 81	sylancr 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O C_ om )
83		sseqin2 3653	. . . . . . . . . 10 |- ( dom O C_ om <-> ( om i^i dom O ) = dom O )
84	82, 83	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i dom O ) = dom O )
85	79, 84	eqtrd 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) ) = dom O )
86	14, 85	syl5eq 2499	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> C = dom O )
87		isoeq5 6219	. . . . . . 7 |- ( C = dom O -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) ) )
88	86, 87	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) ) )
89	44, 88	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) )
90	45	oiiso 8057	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ R We A ) -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )
91	48, 49, 90	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )
92		isotr 6232	. . . . 5 |- ( ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) /\ O Isom _E , R ( dom O , A ) ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
93	89, 91, 92	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
94		isof1o 6221	. . . 4 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
95		f1of 5819	. . . 4 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
96	93, 94, 95	3syl 18	. . 3 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
97		fzfid 12193	. . 3 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( 1 ... ( # ` A ) ) e. Fin )
98		fex 6143	. . 3 |- ( ( ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ ( 1 ... ( # ` A ) ) e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V )
99	96, 97, 98	syl2anc 667	. 2 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V )
100		isoeq1 6215	. . 3 |- ( f = ( O o. ( `' G |` B ) ) -> ( f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) )
101	100	spcegv 3137	. 2 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V -> ( ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) )
102	99, 93, 101	sylc 62	1 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   _Vcvv 3047   i^i cin 3405   C_ wss 3406   {csn 3970   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   _E cep 4746   Or wor 4757   We wwe 4795   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   |` cres 4839   "cima 4840   o. ccom 4841   Ord word 5425   Oncon0 5426   -->wf 5581   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585   Isom wiso 5586  (class class class)co 6295   omcom 6697   reccrdg 7132   ~~ cen 7571   Fincfn 7574  OrdIsocoi 8029   cardccrd 8374   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791   #chash 12522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-hash 12523

This theorem is referenced by:  fz1iso  12632