Theorem fz1isolem 12210

Description: Lemma for fz1iso 12211. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fz1iso.1	|- G = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om )
fz1iso.2	|- B = ( NN i^i ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) )
fz1iso.3	|- C = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
fz1iso.4	|- O = OrdIso ( R , A )

Assertion

Ref	Expression
fz1isolem	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Distinct variable groups:   f, n, A   B, f   f, G   f, O   R, f

Allowed substitution hints:   B( n)   C( f, n)   R( n)   G( n)   O( n)

Proof of Theorem fz1isolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 12122	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
2	1	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
3		nnuz 10892	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4		1z 10672	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
5		fz1iso.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om )
6	4, 5	om2uzisoi 11773	. . . . . . . . . . . 12 |- G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` 1 ) )
7		isoeq5 6011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> ( G Isom _E , < ( om , NN ) <-> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` 1 ) ) ) )
8	6, 7	mpbiri 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> G Isom _E , < ( om , NN ) )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- G Isom _E , < ( om , NN )
10		isocnv 6018	. . . . . . . . . 10 |- ( G Isom _E , < ( om , NN ) -> `' G Isom < , _E ( NN , om ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- `' G Isom < , _E ( NN , om )
12		nn0p1nn 10615	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ( # ` A ) + 1 ) e. NN )
13		fz1iso.2	. . . . . . . . . 10 |- B = ( NN i^i ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) )
14		fz1iso.3	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
15		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) e. _V
16	15	epini 5196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) = ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) )
17	16	ineq2i 3546	. . . . . . . . . . 11 |- ( om i^i ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) ) = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
18	14, 17	eqtr4i 2464	. . . . . . . . . 10 |- C = ( om i^i ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) )
19	13, 18	isoini2 6027	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' G Isom < , _E ( NN , om ) /\ ( ( # ` A ) + 1 ) e. NN ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
20	11, 12, 19	sylancr 658	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
21	2, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
22		nnz 10664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. NN -> f e. ZZ )
23	2	nn0zd 10741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( # ` A ) e. ZZ )
24		eluz 10870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) <-> f <_ ( # ` A ) ) )
25	22, 23, 24	syl2anr 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) <-> f <_ ( # ` A ) ) )
26		zleltp1 10691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
27	22, 23, 26	syl2anr 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
28		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` A ) + 1 ) e. _V
29		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
30	29	eliniseg 5195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` A ) + 1 ) e. _V -> ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) )
32	27, 31	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) )
33	25, 32	bitr2d 254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
34	33	pm5.32da 636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( f e. NN /\ f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) <-> ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) ) )
35	13	elin2 3538	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. B <-> ( f e. NN /\ f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) )
36		elfzuzb 11443	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
37		elnnuz 10893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. NN <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38	37	anbi1i 690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) <-> ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
39	36, 38	bitr4i 252	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
40	34, 35, 39	3bitr4g 288	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( f e. B <-> f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) )
41	40	eqrdv 2439	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> B = ( 1 ... ( # ` A ) ) )
42		isoeq4 6010	. . . . . . . 8 |- ( B = ( 1 ... ( # ` A ) ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) ) )
44	21, 43	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) )
45		fz1iso.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- O = OrdIso ( R , A )
46	45	oion 7746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. Fin -> dom O e. On )
47	46	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. On )
48		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
49		wofi 7557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> R We A )
50	45	oien 7748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. Fin /\ R We A ) -> dom O ~~ A )
51	48, 49, 50	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O ~~ A )
52		enfii 7526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. Fin /\ dom O ~~ A ) -> dom O e. Fin )
53	48, 51, 52	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. Fin )
54	47, 53	elind 3537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. ( On i^i Fin ) )
55		onfin2 7498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om = ( On i^i Fin )
56	54, 55	syl6eleqr 2532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. om )
57		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om )
58		0z 10653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ZZ
59	5, 57, 4, 58	uzrdgxfr 11785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom O e. om -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + ( 1 - 0 ) ) )
60		1m0e1 10428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 0 ) = 1
61	60	oveq2i 6101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + ( 1 - 0 ) ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 )
62	59, 61	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom O e. om -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) )
63	56, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) )
64	51	ensymd 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> A ~~ dom O )
65		cardennn 8149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A ~~ dom O /\ dom O e. om ) -> ( card ` A ) = dom O )
66	64, 56, 65	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( card ` A ) = dom O )
67	66	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) )
68	57	hashgval 12102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. Fin -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( # ` A ) )
69	68	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( # ` A ) )
70	67, 69	eqtr3d 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) = ( # ` A ) )
71	70	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
72	63, 71	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( G ` dom O ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
73	72	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
74		isof1o 6013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G Isom _E , < ( om , NN ) -> G : om -1-1-onto-> NN )
75	9, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- G : om -1-1-onto-> NN
76		f1ocnvfv1 5980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN /\ dom O e. om ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = dom O )
77	75, 56, 76	sylancr 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = dom O )
78	73, 77	eqtr3d 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) = dom O )
79	78	ineq2d 3549	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) ) = ( om i^i dom O ) )
80		ordom 6484	. . . . . . . . . . 11 |- Ord om
81		ordelss 4731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord om /\ dom O e. om ) -> dom O C_ om )
82	80, 56, 81	sylancr 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O C_ om )
83		sseqin2 3566	. . . . . . . . . 10 |- ( dom O C_ om <-> ( om i^i dom O ) = dom O )
84	82, 83	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i dom O ) = dom O )
85	79, 84	eqtrd 2473	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) ) = dom O )
86	14, 85	syl5eq 2485	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> C = dom O )
87		isoeq5 6011	. . . . . . 7 |- ( C = dom O -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) ) )
88	86, 87	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) ) )
89	44, 88	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) )
90	45	oiiso 7747	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ R We A ) -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )
91	48, 49, 90	syl2anc 656	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )
92		isotr 6024	. . . . 5 |- ( ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) /\ O Isom _E , R ( dom O , A ) ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
93	89, 91, 92	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
94		isof1o 6013	. . . 4 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
95		f1of 5638	. . . 4 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
96	93, 94, 95	3syl 20	. . 3 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
97		fzfid 11791	. . 3 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( 1 ... ( # ` A ) ) e. Fin )
98		fex 5947	. . 3 |- ( ( ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ ( 1 ... ( # ` A ) ) e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V )
99	96, 97, 98	syl2anc 656	. 2 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V )
100		isoeq1 6007	. . 3 |- ( f = ( O o. ( `' G |` B ) ) -> ( f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) )
101	100	spcegv 3055	. 2 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V -> ( ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) )
102	99, 93, 101	sylc 60	1 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   _Vcvv 2970   i^i cin 3324   C_ wss 3325   {csn 3874   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   _E cep 4626   Or wor 4636   We wwe 4674   Ord word 4714   Oncon0 4715   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   |` cres 4838   "cima 4839   o. ccom 4840   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415   Isom wiso 5416  (class class class)co 6090   omcom 6475   reccrdg 6861   ~~ cen 7303   Fincfn 7306  OrdIsocoi 7719   cardccrd 8101   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   #chash 12099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-hash 12100

This theorem is referenced by:  fz1iso  12211